Использование законов и свойств арифметических действий при формировании вычислительных навыков

Правило деления суммы на число. Если числа а и Ь делятся на число с, то и их сумма а + Ь делится на с; частное, получаемое при делении суммы а+Ь на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и Ъ на с, т. е.

(а + Ь): с = а: с + b: с.

Доказательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число т = а:с, что а = с-т. Аналогично существует такое натуральное

число п — Ь:с, что Ь = с-п. Тогда а+Ь = = c-m + c-/2 = c-(m + n). Отсюда следует, что а+Ь делится на с и частное, получаемое при делении а+Ь на число с, равно т+п, т. е. а:с+Ь:с.

Доказанное правило можно истолковать с теоретико-множественных позиций.

Пусть а = п{А), Ь = п(В), причем АГ\В=0. Если каждое из множеств А и В можно разбить на с равномощных подмножеств, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение.

При этом если в каждом подмножестве разбиения множества А содержится а:с элементов, а в каждом подмножестве множества В содержится Ь:с элементов, то в каждом подмножестве множества А[)В содержится а:с+Ь:с элементов. Это и значит, что (а + Ь): с = а: с + Ь: с.

Правило деления числа на произведение. Если натуральное число а делится на натуральные числа Ъ и с, то, чтобы разделить а на произведение чисел Ъ и с, достаточно разделить число а на b (с) и полученное частное разделить на с (Ь): а:(Ь • с) —(а: Ь): с = (а:с): Ь Доказательство. Положим (а:Ь):с = х. Тогда по определению частного а:Ь = с-х, отсюда аналогично а — Ь-(сх). На основании сочетательного закона умножения а = (Ьс)-х. Полученное равенство означает, что а:(Ьс) = х. Таким образом, a:(bc) = (a:b):c.

Правило умножения числа на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т. е.

a-(b:c) = (a-b):c.

Применение сформулированных правил позволяет упростить вычисления.

Например, чтобы найти значение выражения (720+ 600): 24, достаточно разделить на 24 слагаемые 720 и 600 и полученные частные сложить:

(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55. Значение выражения 1440:(12• 15) можно найти, разделив сначала 1440 на 12, а затем полученное частное разделить на 15:

1440: (12 • 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

Указанные правила рассматриваются в начальном курсе математики на конкретных примерах. При первом знакомстве с правилом деления суммы 6 + 4 на число 2 привлекаются иллюстративный материал. В дальнейшем это правило используется для рационализации вычислений. Правило деления числа на произведение широко применяется при делении чисел, оканчивающихся нулями.

Методика изучения законов и свойств арифметических действий в традиционной и вариативных программах обучения начальной школы

Одним из возможных методических подходов к реализации новой программы по математике является обучение сложению в пределах 100 на основе иного подхода к использованию сочетательного, а затем и переместительного свойства сложения.

В учебнике математики для IV класса (Н. Я. Виленкин и др.) сказано: «В выражении а + Ь + с действия выполняют по порядку слева направо. Если же воспользоваться сочетательным законом, то можно сначала сложить второе и третье слагаемые, а затем к первому слагаемому прибавить полученную сумму» (стр. 71).

Использование сочетательного закона дает возможность обосновать вычислительные приемы для многих случаев сложения, например, 26+3=20+6+3=20+9=29, 18+7=10+8+7=10+15= = 10+10+5 = 20+5=25 и др.

Вычитание по частям является приемом обратным прибавлению по частям, который основан на использовании сочетательного свойства сложения.

Вычитание из части уменьшаемого связано с сочетательным свойством сложения, согласно которому можно рядом стоящие слагаемые объединить в любые группы, а следовательно, если из суммы вычесть одно из слагаемых, то останутся другие слагаемые.

Изложенные соображения о значении сочетательного закона сложения для обоснования приемов сложения могут быть положены в основу методики обучения первоклассников вычислительным приемам.

Опыт ознакомления учащихся с сочетательным свойством сложения и его использованием при вычислениях был проведен по следующему плану:

Подготовка к изучению сочетательного свойства сложения.

Ознакомление детей с сочетательным свойством сложения.

Обоснование приемов сложения и вычитания на основе сочетательного свойства сложения.

Сложение и вычитание рассматриваются в таком порядке.

В 1 классе сначала изучается сложение и вычитание разрядных чисел ( 70+20, 60-40). Затем рассматривается свойство прибавления числа к сумме, пользуясь которым и ранее усвоенными знаниями вводятся приемы для случаев: 46+20, 46+2. Здесь же, используя прием перестановки слагаемых, рассматривают случай 2+46. Далее изучается свойство вычитания числа из суммы и приемы для случаев: 48-30, 48-3 и 40-3. Следующим рассматривается свойство прибавления суммы к числу, на основе которого раскрываются табличные случаи сложения с переходом через десяток ( 9+3 ). Вслед за этим изучается свойство вычитания суммы из числа и табличные случаи вычитания ( 12•5 ). Наконец, рассматриваются парами приемы сложения и вычитания, основанные на двух последних свойствах: 47+9 и 47-9; 30+12 и 30-12; 65+14 и 65-14; 36+19 и 36-19. Во 2 классе изучаются свойства прибавления суммы к сумме и вычитания суммы из суммы, на основе которых вводятся приемы поразрядного сложения и вычитания.

Рассмотрим подробнее методику изучения свойств и вычислительных приемов.

Сложение и вычитание двузначных разрядных чисел сводится к сложению и вычитанию однозначных чисел, которые выражают число десятков. Например, чтобы к 50 прибавить 30, достаточно к 5 десяткам прибавить три десятка, получится 8 десятков, или 80, а чтобы из 5 десятков вычесть три десятка, получится 2 десятка, или 20. Объяснение решения двух-трех примеров сопровождается иллюстрацией и такой записью

70+20 60-40

7дес.+2дес.=9дес. 6дес.-4дес.=2дес.

70+20=90 60-40=20

Рассматриваемый прием вычислений настолько прост, что обычно не вызывает затруднений у детей. Однако при возникновении затруднений у отдельных учащихся необходимо вернуться к соответствующим устным пояснениям, а если понадобится, то и к иллюстрации. Работа над рассматриваемыми случаями сложения и вычитания служит делу закрепления знания нумерации в пределах 100, табличного сложения и вычитания в пределах 10. Поэтому упражнения такого вида полезно включать и в дальнейшем. На последующих двух-трех уроках, ученики проговаривают объяснение вслух, а затем про себя. Это тем более важно, что для успешного усвоения следующих приемов вычислений соответствующие навыки должны быть уже достаточно отработанными.

Следующий шаг в работе над темой - ознакомление с различными способами прибавления числа к сумме. Остановимся подробнее на методике соответствующей работы, поскольку то, что относится к рассмотрению этого свойства, в полной мере может быть отнесено и ко всем другим.

Введению свойства прибавления числа к сумме должна предшествовать специальная подготовительная работа, в результате которой учащиеся знакомятся с математическими выражениями «сумма чисел…» и «разность чисел…», учатся читать и записывать выражение со скобками, заменять двузначные неразрядные числа суммой их разрядных слагаемых. Эти вопросы рассматриваются при изучении сложения и вычитания чисел в пределах 10 и нумерации чисел в пределах 100.