Использование законов и свойств арифметических действий при формировании вычислительных навыков

Можно распределительное свойство объяснить на основе сравнения результатов решения одной и той же задачи двумя способами. Например, надо вычислить число кружочков на рисунке.

I способ. В одном столбике кружков — 3

Всего столбиков на рисунке — (4 + 2)

Всего кружков будет — 3 . (4 + 2) Итак, 3 • (4 + 2) = 3 • 6 = 18.

II способ. На рисунке белых кружков- 3-4, черных кружков —3-2.

Всего кружков — 3 • 4 + 3 • 2

3 • 4 + 3 • 2 = 12 + 6 = 18.

Сравнить значения выражений 3 • (4 + 2) и

3-4 + 3-2 и записать, что 3 • (4 + 2) = 3 . 4 + 3 • 2.

В беседе с детьми надо отметить, что для умножения числа на сумму умножают число на каждое слагаемое и эти произведения складывают.

Более трудными являются для учащихся рассуждения, основанные на сочетательном законе сложения, хотя они доступны учащимся этого возраста и помогают осознать прием набора равными группами, который используется при составлении таблиц. 3 • (4 + 2) = 3 • 6 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3= 3•4 + 3•2 =78 и окончательно 3 • (4 + 2) = 3 • 4 + 3 •2.

Кроме общепринятой формы записи (в строчку) при умножении числа на сумму, интересная форма записи (в столбик) приводится в эстонских учебниках.

2 • 6 = 2 • (2 + 4) = = 2• 2 + 2 • 4 = = 4 + 8 = 12

Для усвоения распределительного свойства полезны упражнения:

1. В сравнении и вычислении значения выражений

9 • (4 + 3) = 9 • 7 =

7• (5 + 4) = 7 • 9 =

8• (6 + 2) = 8 • 8 =

Из этой работы надо сделать практический вывод, что всегда можно более трудные случаи табличного умножения свести к более легким (второй сомножитель заменить суммой двух чисел и вычислить по правилу умножения числа на сумму): 8-9 = 8- (5 + 4) = 8 • 5 + 8 • 4 = 40 + 32 = 72.

2. В умении свернуть запись

3 • 7 + 3 • 2 = 3 • (7 + 2), 8 • 4 + 8 • 3 = 8 • (4 + 3).

3. В вычислении произведения разными способами (выбрать более удобный)

9 • (5 + 4), 8 • (2 + 1), 7 • (6 + 4).

Объяснение свойства умножения суммы на число можно аналогично начинать с решения задач. В методике предлагаются и другие пути изложения этого вопроса:

а) на основе использования переместительного свойства умножения и свойства умножения числа на сумму

(3 + 4)-2 = 2-(3 + 4) = 2-3 + 2-4 = 3-2 + 4-2.

Окончательно имеем:

(3 + 4) • 2 = 3 • 2 + 4 • 2;

б) на основе определения умножения, переместительного и сочетательного свойств сложения

(3 + 4) • 2 = (3 + 4) + (3+ 4) = (3 + 3) + (4 + 4) -= 3-24-4-2;

в) на основе непосредственного знакомства с правилом:

«Умножить сумму на число можно разными способами, получая одинаковые результаты:

1. Можно вычислить сумму и умножить полученный результат на число: (5 + 4) • 3 = 9 • 3 = 27.

2, Можно умножить на число каждое из слагаемых суммы и полученные произведения сложить (5 + 4) • 3 = 5 • 3 4 4 • З.

Лучше рассмотреть с детьми свойство на конкретных примерах («открыть» его), а позднее познакомить их с доказательством (как приведено в случае «б») и записью в общей форме (а + Ь) . с = а .с 4- b • с. Теперь надо подчеркнуть, что для удобства (облегчения) вычислений можно представить в виде суммы любой сомножитель. На основе этого вывода позднее будем формировать приемы внетабличного умножения.

Третье свойство умножения — сочетательное — не находит широкого применения при вычислениях в пределах сотни, так как считается малодоступным детям этого возраста. Очень важно помочь детям увидеть и осознать, что произведение может быть больше любого сомножителя, равняться одному из сомножителей и быть равным нулю. Вывод дети в состоянии сделать, сравнивая результаты вычислений (на основе определения произведения), для примеров вида:

3-5=15 3-5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3=15

1-5 = 5 -1.8-1 + 1 + 1+1 + 1-5

0-5 = 0 0-5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Эта работа явится пропедевтикой к рассмотрению умножения на 1 и 0, которые особо выделяются в программе (особые случаи). Их вводят с помощью правил, так как они не вытекают из определения умножения. При определении множителя как оператора действия умножение на 1 не требует особого определения (3 • 1 = 3, «три посчитать 1 раз, получим 3»).

Обобщая случаи 1 • 3 = 3 и 3 • 1 = 3, можно сделать вывод, что произведение любого числа и единицы равно этому числу.

Иначе, умножить число на единицу — значит оставить его без изменения.

Надо познакомить учащихся с записью в общем виде: а • 1 = а, 1 •а = а.

Более отвлеченными и потому более трудными являются для учащихся случаи умножения на нуль. Кроме определения, которое дается для этого случая, в различных методиках рекомендуются некоторые пояснения.

Например, на основе выявления закономерности изменения произведения при уменьшении множителя на одну единицу.

5 • 4 = 20 (произведение уменьшается

5-3—15 каждый раз на 5 единиц)

5 • 2 = 10

5-1—5 и, наконец,

5-0 = 0.

Сравнивая случаи 0-5 — 0и5-0=»0 и обобщая 0 • а => 0, а . 0 = 0, можно сделать вывод:

При умножении нуля на любое число произведение равно нулю.

При умножении любого числа на нуль произведение равно нулю.

Необходимо сообщить учащимся о невозможности делить на нуль.

После формирования первоначальных понятий о новых действиях (умножения и деления), изучив ряд свойств, можно установить непосредственную связь действия деления с умножением. Теперь результаты деления дети должны получить не с помощью операций над предметными множествами, а получать из соответствующих случаев умножения. Работу лучше всего проводить путем решения практических задач, создавая игровые ситуации.

Итак, в программе Моро М.И. уделяется значительное внимание формированию у учащихся осознанных и прочных, во многих случаях доведенных до автоматизма навыков вычислений, программа предполагает вместе с тем и доступное детям обобщение учебного материала, понимание общих принципов и законов, осознание тех связей, которые существуют между рассматриваемыми явлениями.

В основе построения программы Н.Б. Истоминой лежит методическая концепция, выражающая необходимость целенаправленной и систематической работы по формированию у младших школьников приемов умственной деятельности: анализа и синтеза, сравнения, классификации, аналогии и обобщения - в процессе усвоения математического содержания.

Направленность процесса обучения математике в начальных классах на формирование основных мыслительных операций позволяет включить интеллектуальную деятельность младшего школьника в различные соотношения с другими сторонами его личности, прежде всего с мотивацией и интересами, оказывая тем самым положительное влияние на развитие внимания, памяти (двигательной, образной, вербальной, эмоциональной, смысловой), эмоции и речи ребенка.

Практическая реализация концепции находит выражение:

в логике построения содержания курса, в основе, которой лежит система математических понятий и общих способов действий;

в методическом подходе к формированию понятий и общих способов действий, в основе которого лежит установление соответствия между предметными - вербальными - схематическими и символическими моделями;