Использование законов и свойств арифметических действий при формировании вычислительных навыков

3. Закончите запись.

(8+7)+2=(8+2)… (40+3)+5=40+(…)

Ученик даёт примерно такое объяснение: слева записано, что надо к сумме чисел 8 и 7 прибавить 2, а справа записано, что число 2 прибавили к 8, к первому слагаемому; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо к полученной сумме прибавить второе слагаемое 6.

Усвоению свойств помогает также решение некоторых задач разными

способами и сравнение решений.

Как только будет усвоено свойство, можно переходить к изучению вычислительных приёмов, основанных на соответствующем свойстве.

Для подготовки учащихся к приёму вычитания, основанному на знании таблицы сложения, надо включать специальные упражнения, направленные на усвоение состава чисел второго десятка. Так, пользуясь составленной таблицей, учащиеся называют, суммой каких двух однозначных чисел является, например, число 11 (12, 13, …., 18), и записывают 11=9+2; 11=8+3 и т. д.

После изучения свойства вычитания суммы из числа по той же методике, как и другие свойства, рассматривают вычитание вида 12-5.

Для этого случая вычитания целесообразно рассмотреть три приёма: первый основывается на использовании свойства вычитания суммы из числа, второй - на использовании свойства вычитания числа из суммы, а третий - на знании состава чисел второго десятка и связи между суммой и слагаемым.

Подготовкой к введению первого приёма будет решение удобным способом примеров вида 13-(3+2). При ознакомлении с приёмом используется то же наборное полотно, которое применялось при раскрытии приёма сложения вида 9+5.

Предлагается решить пример 12-5. Каждый ученик у себя на парте, а один из них на доске, откладывает на наборном полотне 12 кружков. Учитель спрашивает, как удобнее вычесть 5 из 12. Ученики предложат вычесть сначала 2 (вынимают 2 кружка), а потом ещё 3 (вынимают 3 кружка). Выясняется, что число 5 заменили суммой удобных слагаемых 2 и 3, вычли сначала одно слагаемое, а потом из полученного результата другое.

Запись: 12-5=12-(2+3)=(12-2)-3=7

При этом ученик ведёт объяснение, руководствуясь ранее данным планом: « Заменю число 5 суммой удобных слагаемых 2 и 3; получился пример: из 12 вычесть сумму чисел 2 и 3; удобнее сначала вычесть 2, первое слагаемое, а из полученного результата, из 10, вычесть 3, второе слагаемое, получится 7».

Не исключено, что сами дети предложат приём замены уменьшаемого суммой разрядных слагаемых:

12-5=(10+2)-5=(10-5)+2=7

Однако при этом неоднократно появляется типичная ошибка: отняв всё вычитаемое от десяти, ребёнок оставляет без внимания свободные единицы уменьшаемого и получает неправильный ответ (например, в данном случае число 5 вместо числа 7). Трудность для первоклассника состоит ещё и в том, что нужно преодолеть инерцию действия: приходится после вычитания применять сложение. Лучше поэтому сначала придерживаться вычитания суммы из числа, а затем раскрыть на одном и том же примере оба приёма в порядке сопоставления. Заметим, что преодоление посильных трудностей имеет определённое воспитательное значение.

Во 2 классе после изучения свойств прибавления суммы к сумме и вычитания суммы из суммы вводятся приёмы поразрядного сложения и вычитания двузначных чисел.

К этому времени учащиеся настолько овладевают общим приёмом использования свойств для обоснования вычислительных приёмов, что способны самостоятельно найти новые приёмы. Затем, решая примеры, они так записывают решение:

65+14=(60+5)+(10+4)=(60+10)+(5+4)=79.

65-14=(60+5)-(10+4)=(60-10)+(5-4)=51.

Одновременно дают объяснение: заменим каждое число суммой разрядных слагаемых, получится пример: к сумме чисел 60 и 5 прибавить сумму чисел 10 и 4; удобнее сложить первые слагаемые ( 60 и 10 ), затем вторые слагаемые ( 5 и 4 ), сложить результаты, получится 79.

На этапе закрепления знания приёма и формирования вычислительного навыка в отношении всех рассмотренных случаев вычислений ученики должны выполнять краткое объяснение сначала вслух, а затем про себя: называть только, какие действия и над какими числами они выполняют и какие получили результаты. Например, для случая 30-12 краткое объяснение будет таким: из 30 вычту 10, получится 20; из 20 вычту 2, получится 18. При этом запись тоже надо выполнять кратко: записывать пример и результат (30-12=18).

Необходимо систематически накапливать факты для установления связи между действием деления и умножения. После первоначального ознакомления с действиями умножения и деления можно приступить к углублению этих понятий через изучение их свойств.

В различных методиках и пособиях переместительное свойство поясняется наглядно на рисунках путем сравнения результатов умножения (произведений) при разном порядке сомножителей (подсчет треугольников, кружочков, клеток и т. д. ведется по строкам, а потом по столбцам).

Например, подсчитаем число клеток в прямоугольнике:

а) по столбцам — 3 • 5 = 15,

б)по строкам — 5 • 3 = 15.

Число клеток в этом прямоугольнике

всегда 15, значит, можно говорить о

равенстве выражений (произведений)

3 • 5 и 5 .3,

т. е. 3 • 5 = 5 • 3.

Подмечая это свойство на ряде примеров, дети сами делают вывод. Неправильно было бы считать, что этим свойство и доказано. Очень важно распространить вывод на произведение любых чисел, а для этого недостаточно лишь утверждения учителя, что так будет всегда, необходимо показать, что подобные рассуждения можно повторить для любых чисел, т. е. показать выполнение свойства для произведения любых чисел.

Можно сравнивать и результаты при вычислении:

6•4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24, 6-4 = 4-6.

4• 6 = 4 + 4 +4+ 4 + 4 + 4 = 24.

Решая поставленные задачи (исследуя факты), учащиеся могут самостоятельно сделать вывод, что от перемены порядка сомножителей произведение не изменяется (от перемены мест сомножителей произведение не изменится). На этом законе и основан прием вычисления произведения и составления таблиц умножения, когда второй сомножитель больше первого. Преимущество этого вычислительного приема можно показать на примере:

2•9 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2= 18,

9•2 = 9 + 9=18.

Позднее необходимо рассмотреть с учащимися доказательство переместительного закона и его запись в общем виде (буквенную).

Важно еще познакомить детей с распределительным свойством умножения относительно сложения (умножение числа на сумму и суммы на число), которое частично практически используется уже при составлении таблиц умножения и необходимо при изучении приемов внетабличного умножения. Использование этого свойства позволит не только повысить культуру математического мышления, но и вооружит учащихся обобщенными приемами устного умножения, подготовит базу для выработки алгоритма письменного умножения. В период подготовки к изучению распределительного свойства дети упражняются:

а) в чтении и записи выражений

16 + 5 4; 4 . 7 + 54; 4 • 7 + 6 • 9; 5 • (6 + 3). «Сумма числа 16 и произведения чисел 5 и 4», «произведение числа 5 на сумму чисел 6 и 3»;

б) в наборе нужного числа двоек, троек, разными группами (сначала на кружочках разного цвета).