Проектирование уроков по теме "Площади плоских фигур"

1°. Равные многоугольники имеют равные площади.

2°. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Эти свойства принимаются на основе наглядных представлений об измерении площадей.

Наряду с двумя основными свойствами важную роль играет в дальнейшем еще одно свойство:

3°. Площадь квадрата равна квадрату его ст

ороны.

Доказательство свойства 3° является, пожалуй, самым трудным местом во всем курсе, и потому, как нам кажется, не нужно требовать от каждого ученика, чтобы он умел доказывать это свойство. Именно поэтому п. 49 учебника, содержащий доказательство свойства 3°, отмечен звездочкой. Это означает, что материал данного пункта не является обязательным. Учителю следует на конкретных примерах разъяснить свойство 3°, а более подготовленным учащимся можно предложить изучить доказательство самостоятельно по учебнику. Трудность доказательства связана с тем, что наряду со случаем, когда сторона квадрата выражается конечной десятичной дробью, приходится рассматривать более сложный случай, когда сторона квадрата выражается бесконечной десятичной дробью (иррациональным числом). Вместе с тем это единственное место во всем курсе, где возникают трудности, связанные с иррациональными значениями величин. Одно из преимуществ раннего введения понятия площади состоит в том, что такого рода трудности удается легко обойти в главе «Подобные треугольники» при доказательстве признаков подобия.

Закрепить усвоение свойств площадей можно в процессе решения задачи 445, а также задач типа:

1. Площадь параллелограмма ABCD равна S. Найдите площади треугольников ABC и ABD .

2. Площадь прямоугольника ABCD, изображенного на рисунке, равна Q. Найдите площадь треугольника AMD .

Рис. 2.

3. На рисунке 3 ABCD — прямоугольник, точки Е и F — середины его сторон AD и ВС. Заштрихованный квадрат представляет собой единицу измерения площадей. Найдите площадь трапеции KMNP.

Кроме того, на первом уроке рекомендуется решить задачи 449 (а, в),

450 (а, б), 451 (устно).

Дома: вопросы 1, 2 (с. 129); задачи 447, 449 (б), 450 (в), 451 (записать решение).

Рис. 3.

На втором уроке перед выводом формулы площади прямоугольника полезно провести подготовительную работу, выполнив следующие задания:

4. Докажите, что два прямоугольника равны, если равны их смежные стороны.

5. На рисунке ABCD — квадрат, MN || AB, EF || BC. Найдите площадь четырехугольника AFKM, если AM=CE=3 см, DE = 6 см.

Рис. 4.

При доказательстве теоремы о площади прямоугольника желательно иметь заранее заготовленный чертеж (см. рис. 181 учебника).

В классе рекомендуется решить задачи 452 (а, в), 453 (а, б).

Дома: вопрос 3 (с. 129); задачи 452 (б, г), 453 (в), 44?-,

В конце второго урока полезно провести самостоятельную работу обучающего характера.

Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

Назначение параграфа — опираясь на основные свойства площадей и теорему о площади прямоугольника, вывести формулы для вычисления площадей параллелограмма, треугольника и трапеции. Кроме того, рассмотреть теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, на которой основано доказательство ряда теорем из последующих разделов курса.

Материал этого параграфа можно распределить по урокам следующим

образом: площадь параллелограмма — 1 урок, площадь треугольника — 2 урока, площадь трапеции — 1 урок. Оставшиеся два урока рекомендуется посвятить решению задач.

Перед выводом формулы площади параллелограмма полезно провести подготовительную работу, с тем, чтобы напомнить основные свойства площадей и признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. На рисунке 182 учебника отрезки ВН и СК — высоты параллелограмма ABCD. Найдите площадь этого параллелограмма, если АВ = 6 см, ВС = 8 см, BAH= 30°.

После доказательства теоремы о площади параллелограмма в классе рекомендуется решить задачи 459 (а) (устно), 459 (б, в), 464 (в).

Дома: вопрос 4 (с. 129); задачи 459 (г), 460, 464 (б).

В конце урока или в начале следующего урока желательно провести самостоятельную работу обучающего характера.

Перед изучением теоремы о площади треугольника полезно устно по заготовленному заранее чертежу решить следующую задачу:

2. Смежные стороны параллелограмма ABCD, равные 8 см и 12 см, образуют угол в 30°. Найдите площади треугольников ABC и ABD.

В процессе решения этой задачи повторяются основные свойства площадей, формула площади параллелограмма, акцентируется внимание на том, что диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Доказательство теоремы о площади треугольника и следствий из нее можно предложить учащимся провести самостоятельно (без учебника или с помощью него).

В классе рекомендуется решить задачи 468 (л, г), 471 (а), 475.

Дома: вопрос 5 (с. 129); задачи 467, 468 (б, в), 471 (б), 474 (устно).

В основе доказательства теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, лежит следствие 2° из теоремы о площади треугольника. Поэтому именно на этом следствии желательно акцентировать

внимание учащихся в процессе проверки домашнего задания (задача 474) и в процессе устного решения следующих задач:

3. На рисунке СМ — медиана треугольника AВС, СК — медиана треугольника АСМ. Найдите отношение площадей .

Рис. 5.

4. На рисунке точка М — середина стороны АВ, К — середина стороны СD выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что SMBKD = SABCD

Доказательство теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, рекомендуется провести самому учителю.

Рис. 6.

На применение теоремы об отношении площадей треугольников в классе можно решить следующую задачу (устно).

5. На рисунке 7 A=K, AC = 5 см, АВ = 3 см, KN = 7 см, KM = 2 см. Найдите отношение .

6. На рисунке 8 ОА=8 см, ОВ = 6 см, ОС = 5 см, OD = 2 см, SAOB = 20 см2. Найдите SCOD .

Рис. 7.

Рис. 8.

7. Площадь одного равностороннего треугольника в три раза больше, чем площадь другого равностороннего треугольника. Найдите сторону второго треугольника, если сторона первого равна 1.