Методика преподавания темы "Системы счисления" слабослышащим учащимся 10 классов

Далее нужно дать понять учащимся, что позиционные системы счисления существует множество и отличаются они друг от друга алфавитом – это упорядоченное множество цифр и основанием, то есть это количество цифр в алфавите. Вопросы на понимание могут быть следующими: «Почему арабская система счисления называется десятичной системой?», «Почему арабская система, которую мы используем, является позицио

нной?», то наверняка будет ответ про десять цифр в алфавите и в арабские цифры зависит от ее позиции. Делаем вывод, что основание арабской системы счисления равно десяти, поэтому называется десятичной. Следует показать алфавиты различных позиционных систем счисления.

Нужно указать, что с основанием не больше 10 используют только арабские цифры, а если основание больше 10, то используют латинские буквы в алфавитном порядке, это и есть шестнадцатеричная система счисления.

Для указания на основание системы, которой относится число, водим индексное обозначение. Например, 2510 - это число указывает, что это десятичная система счисления и следует обратить внимание что нельзя «двадцать пять», а «два пять».

В416 – шестнадцатеричное число, то есть шестнадцатеричная система счисления. Индекс всегда записывается десятичным числом, так как в любой системе счисления ее основание будет равно 10 (один, ноль).

Понять сущность позиционного представления чисел можно на примере любого многозначного числа. Например, число 555 цифра 5 встречается трижды, причем самая первая цифра обозначает пять единиц, вторая правая – пять десятков и третья – пять сотен. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Число 555 записано в свернутой форме. Для записи развернутой формы числа необходимо над каждым числом определить степень основания, в которую данное основание системы будет возводиться (начиная с нулевого), с самого крайнего целого числа. В развернутой форме запись числа в десятичной системе счисления будет выглядеть таким образом:

55510= 5*102 + 5*101 + 5*100, то есть позиция цифры показывает, в какую степень надо возвести основание в развернутой форме. А теперь сформулируем правило позиционной системы счисления: Чтобы получить значение числа надо цифры умножить на основание в степени позиции и сложить.

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 555, 25 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

555,2510 = 5*102 + 5*101 + 5*100 + 2*10-1 + 5*10-2. Данные показывается в приложении 4.

В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А10 , которое содержит n целых разрядов числа и m дробных числа, производится следующим образом: A10 = an-1*10n-1 + an-2*10n-2 + …+ a0*100 + a-1*10-1 + a-2*10-2 +…+ a-m*10-m. Эту общую форму записи числа в десятичной системе счисления учащиеся должны записать в тетради.

Аналогично можно получить развёрнутую форму чисел в других системах счисления. Например, для двоичного числа. В двоичной системе счисления основание = 2, а ее алфавит состоит из двух цифр – 0 и 1. Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы разряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Рассмотрим пример двоичной системы счисления, в свернутой форме в двоичной системе выглядит таким образом:

A2 = 101,012.

В развернутой форме число в двоичной системе выглядит так: A2 = 1*22 + 0*21 + 1*20 + 0*2-1 + 1*2-2 (Приложение 4).

В общем случае в двоичной системе счисления запись числа A10 , которое содержит n целых разрядов числа и m дробных числа, производится следующим образом:

A2 = an-1 *2n-1 + an-2 *2n-2 +…+ a0 *20 + a-1 *2-1 + a-2 *2-2 +…+ a-m *2-m .

Так в восьмеричной системе основание равно 8, тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число A8 = 673,28 в развёрнутой форме будет выглядеть так: A8 = 6*82 + 7*81 + 3*80 + 2*8-1.

Также в шестнадцатеричной системе счисления основание равно 16, тогда записанное в развернутой форме число A16 = 8A,F16 будет иметь вид:

A16 = 8*161 + A*160 + F*16-1. Итак, в общем случае в системе счисления с произвольным основанием q запись числа Aq , которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, производится следующим образом: Aq = an-1 *qn-1 + an-2 *qn-2 +…+ a0 *q0 + a-1 *q-1 + a-2 *q-2 +…+ a-m *q-m (Приложение 5).

Сказать, что произвольное основание это могут быть любое основание позиционной системы счисления - это могут быть и пятеричная, троичная система счисления и т.д. Можно задать учащихся привести свои примеры троичной, пятеричной и записать эти числа в развернутой форме.

Следующий вопрос, изучаемый в этом разделе – методы перевода чисел из одной системы счисления в другую. Основная идея заключается в следующем: перевод чисел неизбежно связан с выполнением вычислений. Поскольку нам хорошо знакома десятичная арифметика, то любой перевод следует свести к выполнению вычислений над десятичными числами.

Объяснения методов перевода следует начать с перевода десятичных чисел в двоичные системы счисления. Для этого взять любое двоичное число, например 11102. Сначала записать его в развернутой форме и произвести вычисления: 11102 = 1*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 = 1410. Затем задать пример учащимся перевод десятичных дробей.

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления. Возьмем любое восьмеричное число, например 67,58. Запишем его развернутой форме и произведем вычисления: 6*81 + 7*80 + 5*8-1 = 6+7+5/8 = 55,62510 (Приложение 6)

То же самое и перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему. Например, число 19F16 запишем в развернутой форме и произведем вычисление: 19F16 = 1*162 +9*161 +F*160 = 1*256 + 9*16 + 15*1= 41510.

Теперь перевод чисел из десятичной системы счисления. Сначала рассмотрим перевод целого числа из десятичной системы счисления. Перевод чисел из десятичной системы счисления происходит также через развернутую форму записи числа. Только эта задача более сложная, поскольку теперь необходим алгоритм перевода. Чтобы перевести число из десятичной системы счисления в новую систему, необходимо выполнять последовательное деление нацело десятичного числа на основание новой системы счисления, а затем выписать остатки от деления . Следует знать алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления: