Решение треугольников в 9 классе

Прочитайте пункт 93 и 94. Ответьте на вопросы 1 – 5 (см.Приложение);

Составьте конспект прочитанного материала;

Решите задачу 2 (для точек А, В, М1, М2), 3(б), 4(а) и 5(г);

Если самостоятельное конспектирование вызвало затруднения, то в ходе беседы, с обучающимися, можно изложить данный материал. Опираясь на то, что учащиеся уже знают понятия косинуса, синуса и тангенса острого угла

прямоугольного треугольника и на основе теоремы Пифагора доказано основное тригонометрическое тождество. Для наилучшего усвоения нового материла полезно рассмотреть задачи.

На втором уроке целесообразно обсудить с учащимися задачу 1, а затем решить следующую задачу. Используя единичную окружность, постройте угол:

а) косинус которого равен ;

б) синус которого равен .

Для решения данной задачи необходимо заранее заготовить на доске несколько полуокружностей.

Так же можно предложить учащимся доказать, что синусы смежных углов равны, а косинусы смежных углов выражаются взаимно противоположными числами. Полезно было бы начать урок с фронтального повторения теоретического материала по Плакат 1. "Тригонометрические функции" (см. Приложение).

После этого рекомендуется учащимся объяснить пункт 95, для закрепления прорешать задачи 1016, 1018 (в), 1019 (в), а в оставшееся время необходимо провести самостоятельную работу контролирующего характера:

Вариант 1: 5 (а), 7 (б), 8 (а), 9 (а).

Вариант 2: 5 (г), 7 (а), 8 (д), 9 (г).

Для домашнего изучения темы предлагается повторить пункт 93 – 95, а так же вопросы 1 – 6 (см. Приложение 5), задачи 2 ( для точек М2 и М3), 3 (а, б), 4 (а, Б), 5 (в), 7 (а, б), 8 (б), 9 (б).

В результате проведенных уроков учащиеся должны знать, как вводится синус, косинус, тангенс для углов от 0º до 180º, уметь доказывать основное тригонометрическое тождество, знать формулы для вычисления координат точки, уметь решать задачи.

Методические рекомендации к теореме о площади треугольника

На уроке пред доказательством теоремы необходимо, полезно повторить известные учащимся формулы для вычисления площади прямоугольного и произвольного треугольника. Для этой цели рекомендуется подготовить плакат, с изображением этих формул (см. Приложение 1), заранее дать задание учащимся повторить этот материал. Данное пособие поможет ребятам лучше запомнить и вспомнить формулы площадей. Кроме того, следует повторить с учащимися формулы для вычисления координат точки с положительной ординатой.

Доказательство теоремы не является сложным, поэтому рекомендуется провести его, вместе с обучающимися. Необходимо чтобы обучающиеся осознали, что новая формула площади треугольника справедлива для любого треугольника. Необходимо проследить, чтобы учащиеся в своих тетрадях сделали запись, но она должна быть только после того, когда все уже доказано и обсуждено классом. Учитель должен пресекать попытки учащихся одновременно делать запись и участвовать в обсуждении. Данная запись пригодится при доказательстве теоремы синусов. Так же для обрабатывания навыков, в использовании теоремы о площади треугольника рекомендуется прорешивать задачи, не только данные в учебнике, но и расположенные на плакате.

Теорема синусов

В начале данного урока рекомендуется провести математический диктант, обучающего характера, на 10 минут (см. Приложение).

Проверку данного математического диктанта рекомендуется провести в классе, ошибки, допущенные в результате вычисления необходимо разобрать, и устранить причины их появлений. Данная работа соберет внимание учеников, и подготовит их к дальнейшей работе.

Для дальнейшей работы будет целесообразно, чтобы учащиеся повторили формулы для вычисления площади треугольника. Это можно сделать и с помощью опроса, мы вызываем ученика к доске, с целью доказательства теоремы выученной на прошлом уроке. А класс должен следить за верностью доказательства теоремы, после этого повторения ребята полностью готовы к восприятию нового материала. Для доказательства теоремы желательно иметь рисунок с принятыми в доказательстве обозначениями сторон и противолежащих им углов. В дальнейшем учителю необходимо добиваться, чтобы учащиеся умели оперировать любыми обозначениями сторон и углов треугольника.

Полезно так же перед учащимися создавать проблемную ситуацию, предложив устно решить задачу по плакату: Верно ли для треугольника ABC (рис.1) равенство

= ?

После того, как учащиеся убедились, что в прямоугольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов, ставится вопрос: " Верно ли это утверждение для любого треугольника? Ответ на этот вопрос мы получим, если докажем теорему, которая называется теоремой синусов".

Необходимо обратить внимание учащихся, на то, что данную теорему можно записать и в другом виде: a : b : c = sinA : sinB : sinC. Данную задачу можно рассмотреть с учениками устно.

При изучении данной темы необходимо использовать наглядность – это позволит ученикам лучше запомнить данный материал. Так же можно использовать плакаты с изображением устных задач на применение теоремы синусов. Будет лучше если при решении задач, мы построим наглядные чертежи, что дает ребятам представление об условиях задачи. А для закрепления пройденного материала, лучше всего прорешать задачи. Необходимо так же следить за работой и записями ребят, не допускать одновременных действий в обсуждении материала и его записи.

Теорема косинусов

Для доказательства теоремы косинусов необходимо повторить формулы для вычисления координат точки и формулу для вычисления координат точки и формулу для вычисления расстояния между двумя точками: d2= (x1 – x2)2+ (y1 - y2)2. Это позволит учителю привлечь учащихся к самостоятельному доказательству теоремы. Для чего на доске выписать план доказательства теоремы:

Запишите формулу расстояния между точками M1(x1;y1) и M2 (x2;y2).

Пользуясь учебником (рис.293.), объясните почему координаты точек В и С имеют такие значения, как указано на этом рисунке.

Выпишите координаты точек В и С (рис.293.) и найдите расстояние между этими точками. Упростите полученное выражение.

Убедитесь в правильном решении, прочитав п.98 по учебнику.

Так же рекомендуется, чтобы обучающиеся сами выразили из формулы теоремы косинусов, косинусы углов, то есть cosA, cosB и cosC через a, b, c и следовательно сделать выводы, что зная стороны треугольника, можно найти его углы:

.

Необходимо заметить, что данные формулы необязательно запоминать, так как их легко вывести, зная теорему косинусов. Так же необходимо сделать замечание, что теорему косинусов называют обобщенной теоремой Пифагора. А в конце урока, рекомендуется провести самостоятельную работу контролирующего характера.