Решение треугольников в 9 классе

Учитель: Заметьте, теорема сформулирована, верно. Теперь, используя теорему косинусов, выразите косинусы углов, то есть cosA, cosB, cosC.

Ученик 1: a2=b2+c2 -2b·c·cosA, откуда .

Ученик 2: b2=a2+c2-2a·c·cosB, откуда .

Ученик 3: c2=a2+b2 -2a·b·cosC, откуд

а .

Учитель: Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Почему, об этом нам расскажет ученик1?

Ученик 1:(Слушаем доклад на 2-3 минуты). Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике ABC угол A прямой, то cosA = cos90ْ = 0 и по формуле имеем: a2=b2+c2-2b· c·0= b2+c2, то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Учитель: Спасибо – это было интересно!

IV. Закрепление изученного материала ( мин).

1.Решите задачу № 21(в), на доске и в тетрадях

2. Решите задачу № 35, на доске и в тетради

3. Решите задачу № 36, на доске и в тетради

4. Решите задачу № 37, на доске и в тетради

5. Самостоятельная работа, контролирующего характера.

Данная работа рассчитана на 10 минут.

Вариант 1: № 21 (б); № 30 (а);

Вариант 2: № 21 (а); № 30 (б).

V. Подведение итогов урока.

Учитель: Какие три элемента треугольника надо знать, чтобы вычислить четвертый элемент, используя теорему синусов?

Ученик 1: Две стороны и угол противолежащий одной из них.

Ученик 2: Или два угла и сторона противолежащая одной из них.

Учитель: Какие три элемента треугольника надо знать, чтобы вычислить четвертый элемент, используя теорему косинусов?

Ученик 1: Три стороны.

Ученик 2: Две стороны и угол между ними.

VI. Задание на дом (1мин):

Повторить материалы пунктов 96 – 98; решить задачи № 20; № 22.

Урок 6: Решение треугольника по стороне и двум углам

Цели урока:

образовательная: научить находить неизвестные элементы треугольника по известным сторонам и углам, то есть по стороне и двум прилежащим углам, находить остальные стороны и угол, показать связь теории с практикой, способствовать выработке навыков решения задач, применения теоремы синусов;

развивающая: развить логическое мышление, быстроту внимания; формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по данной теме; формировать умения видеть ключевую задачу в более сложной математической задаче; развивать точную, лаконическую речь;

воспитательная: учить преодолевать трудности; работать в быстром темпе, собираться мыслями и принимать решение; воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Ход урока:

I. Организационный момент:

Учитель приветствует учеников, проверяет присутствующих, знакомит учащихся с темой целями урока.

II. Проверка опорных знаний учащихся (10мин).

Учитель: Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника?

Ученик: Сумма углов треугольника равна 180°.

Учитель: Ребята, что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Ученик 1: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Ученик 2: Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Ученик 3: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Учитель: Какие три элемента треугольника надо знать, чтобы вычислить четвертый элемент, используя теорему синусов?

Ученик 1: Две стороны и угол противолежащий одной из них.

Ученик 2: Или два угла и сторона противолежащая одной из них.

Учитель: Какие три элемента треугольника надо знать, чтобы вычислить четвертый элемент, используя теорему косинусов?

Ученик 1: Три стороны.

Ученик 2: Две стороны и угол между ними.

III. Объяснение нового материала (15мин).

Учитель: Сегодня нам предстоит научиться по данным длинам или градусным мерам трех его элементов треугольника вычислять остальные его элементы. Подумайте и скажите, что значит решить треугольник?

Ученик: Решение треугольника называется нахождение трех его неизвестных элементов, по каким – нибудь трем данным.

Учитель: Какие обозначения мы можем ввести для треугольников?

Ученик: Для треугольника мы используем следующие обозначения: ABC- треугольник, BC=a, AB=c, AC=b, ÐBAC=a, ÐABC =b, ÐACB=g.

Учитель: Ребята, какие теоремы, определения, следствия мы можем использовать для нахождения неизвестных элементов треугольника?

Ученик 1: В решении таких задач, мы будем использовать теоремы синусов, косинусов, теорему о сумму углов треугольника.

Ученик 2: А так же мы можем использовать следствия из теоремы синусов (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол).

Ученик: (Доклад на 3 – 5 минут)

Доклад на тему: «Рассказ из истории геометрии»

В Древней Греции, наряду с блестящим развитием теоретической геометрии, научных методов исследования и логических доказательств, большое значение имела прикладная геометрия. Римляне вообще занимались лишь одной практической и прикладной стороной математики, необходимой для землемерия, строительства городов, технических и военных сооружений.

В XVI – XVII вв. все более развивающаяся промышленность и торговля требуют удовлетворения, в первую очередь, практических нужд. Появление первых инструментов и аппаратов для научных исследований (термометра, телескопа, барометра, микроскопа и др.) вызывало интерес к практической стороне науки и особенно к практической геометрии, которая нужна была для военных целей, мореплавания, строительства и землемерия. В этот период появляется много руководств по геометрии, в которых излагаются правила, формулы и рецепты для решения тех или иных практических задач.

Учитель: Спасибо, это было весьма интересно! А теперь, кто сформулирует первую задачу?

Ученик: Нам необходимо, решить треугольник по стороне и прилежащим к ней углам.

Учитель: Хорошо! Что в задаче нам дано? А что, надо найти?

Ученик 1: Нам дано, треугольник ABC, в котором BC=a, ÐBAC=a,

ÐABC =b.

Ученик 2: А найти нам надо сторону AB=c и сторону AC=b, а так же угол ÐACB=g.

Учитель: Какие идеи есть по решению задачи?

Ученик 1: Из теоремы о сумме углов треугольника, мы можем найти угол ÐACB. Для этого нам необходимо ÐACB=g = 180° -ÐABC -ÐBAC=180°-b- a

Ученик 2: А с помощью теоремы косинусов, мы можем найти стороны c и b. Таким образом, мы имеем:

, откуда .

Ученик 3: А сторона c тогда равна , откуда .