Решение треугольников в 9 классе

Решение треугольников

На уроках по теме: "Решение треугольников", ставится вопрос о том, как, зная один из основных элементов треугольника, найти другие. Очень важно, чтобы учащиеся поняли, что теоремы синусов, косинусов, а так же теорема о сумме углов треугольника позволяют найти все шесть элементов произвольного треугольника по каким то трем данным его элементам, из которых, по

крайней мере, один линейный, или, как говорят решить треугольник. Мы будем рассматривать три случая решения произвольных треугольников: 1) по двум сторонам и углу между ними; по стороне и углу между ними; 3) по трем сторонам.

Не рассматривается случай (как показывает опыт, самый трудный для учащихся) решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. В зависимости от контингента учащихся учитель сам решает, рассматривать ли в общем, виде этот случай решения треугольников или ограничиться конкретными задачами, приведенными в учебнике. Решение в общем, виде, первых трех задач целесообразно разобрать по учебнику, а четвертый случай можно рассмотреть на факультативе или, если останется время.

При изучении данной темы учениками, полезно с ними сделать "памятку" для решения трех основных задач (см. Приложение). При наличии времени желательно рассмотреть и четвертый случай. Целью такой памятки является формирование у учащихся умений для каждой из основных типов задач на решение треугольников в общем виде и для конкретных треугольников.

Перед рассмотрением темы: " Решение треугольников" следует задать на дом вопросы для повторения: решение прямоугольных треугольников и построение треугольников. Подводя итоги повторения, полезно обратить внимание учащихся на то, что равенство треугольников определяется тремя равными элементами, взятыми в определенной конфигурации, треугольник можно построить так же по трем заданным элементам.

Теперь попробуем выяснить с учениками, можно ли по трем данным элементам треугольника найти остальные элементы треугольника, то есть решить треугольник.

В ходе работы по данной теме полезно пользоваться "памяткой". Задачи на решение треугольников, рассматриваемые здесь, довольно часто являются фрагментами решения более содержательных и интересных задач. Поэтому умение решать эти задачи является программным требованием к знаниям учащихся. Единственность решения каждой задачи вытекает из соответствующего признака равенства треугольников.

Задача 1: Найдите все элементы треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Приступая к решению задачи, следует заметить, что два треугольника с заданными двумя сторонами и углами между ними будут равны по первому признаку равенства треугольников. А это означает, что при решении треугольника по двум сторонам и углу между ними значения для третей стороны и остальных двух углов имеют единственные значения, то есть решение единственное.

При рассмотрении задачи полезно обратить внимание учащихся на два возможных способа нахождения углов треугольника. В то время, как длина стороны c однозначно определяется с помощью теоремы косинусов, для определения углов треугольника можно применить и теорему косинусов (I способ), и теорему синусов (II способ). Оба способа обладают рядом достоинств и недостатков. Заметим, что при использовании I способа угол определяется однозначно по знаку косинуса, но вычисления весьма громоздкие. При использовании II способа терема синусов дает возможность довольно просто вычислить синус любого из этих углов. Однако значения синуса определяют два угла: острый и тупой. Следовательно, необходимо воспользоваться теоремой о соотношении сторон и углов треугольника.

Разберем возможные случаи.

Если сторона с – наибольшая, то углы a и b - острые,

Если сторона с – не наибольшая, то сначала находим угол, лежащий против меньшей из сторон а и b, следовательно, он является острым. Третий угол находится из равенства a + b + g = 180°.

Задача 2: Найти все элементы треугольника по стороне и прилежащей к ней углам.

С этой задачей учащиеся фактически уже имели дело при изучении теоремы синусов. Полезно будет обратить внимание на то, что любые два треугольника, построенные по этим данным, будут равны по второму признаку, то есть решение единственное

Задача 3: Найти все элементы треугольника по трем сторонам.

При рассмотрении такой задачи, как и в случаи задачи1, полезно обратить внимание учащихся на два возможных способа нахождения углов треугольника. В то время, как градусная мера наибольшего угла однозначно определяется с помощью теоремы косинусов, для определения одного из двух других углов треугольника можно применить и теорему косинусов (I способ) и теорему синусов (II способ). Поскольку сначала определяется наибольший угол, то два других будут заведомо острыми. Третий угол находится из равенства a + b + g = 180°. Следует заметить, что как и задача1, и 2, задача нахождения углов треугольника по трем данным сторонам имеет единственное решение в силу третьего признака равенства треугольников.

Задача 4: Найти все элементы треугольника по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них.

Рассмотрение данной задачи не обязательно на уроке.

Данные уроки я предлагаю связать с пунктом "Измерительные работы". Рекомендуется давать их вместе, так как ребята увидит связь практики и теории. Они научатся на практике применять полученные знания, видеть треугольники и находить неизвестные элементы.

Решение треугольников по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них

При изучении темы "Решение треугольников" нам поставили дополнительный урок, или осталось время, то с учащимися можно разобрать четвертый случай решения треугольников, но рекомендуется его провести как урок – факультатив. Данный случай является наиболее сложным для изучения, поэтому его рассматривают только по усмотрению учителя. Да, если класс сильный то рекомендуется рассмотреть его на уроке или на дополнительных занятиях, если класс слабый то рекомендуется дать в общем виде. Для изучения этой темы необходимо изготовить плакат (см. Приложение1). Использование плаката в данном случаи наиболее целесообразно, поскольку из него хорошо видно, в каком случае задача имеет два решения, а в каком одно решение, а в каком случае решения нет.

Задача 4. Найдите все элементы треугольника по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них.

Рекомендуется рассмотреть три случая:

1 случай: Если , то решений нет;

2 случай: Если , то b = 90°, решение единственное g = 90° - a, c = b× cosa;

3 случай: Если и:

а) b > a, то имеем два решения: существуют два угла b1 и b2 (острый и тупой), синусы которых равны;

б) b = a, то решение единственное и угол b - острый, так как углы при основании равнобедренного треугольника могут быть только острыми;