Теоретические и методические аспекты изучения темы "Интегральное исчисление функции нескольких переменных"

Наконец, от интеграла (26) по формуле Остроградского можно перейти к тройному интегралу по области :

.

Подинтегральное выражение равно:

Сумма, стоящая здесь в первой строке, равна якобиану:

,

в чем легко убедиться, разлагая этот определитель по элементам последней строки; сумма же в квадратных скобках, как показывает непосредственное вычисление, равна нулю. Таким образом, приходим к формуле:

.

Если вспомнить, что по предположению якобиан сохраняет знак, который он сообщает и интегралу, то станет ясно (так как здесь считаем ), что знак перед интегралом должен совпасть со знаком якобиана. Это дает нам право переписать полученный результат в окончательной форме:

(27)

или, обозначая якобиан для краткости через :

. (27*)

Подинтегральное выражение

обычно называют элементом объема в криволинейных координатах [4].

2.7 Замена переменных в тройных интегралах

С помощью выражения объема в криволинейных координатах нетрудно установить и общую формулу замены переменных в тройных интегралах.

Пуста между областями и пространств и cyществует соответствие, охарактеризованное в п0 2.1. Считая соблюденными все условия, при которых была выведена формула (26), покажем теперь, что имеет место следующее равенство

(28)

где , вполне похожее формуле замены переменных в двойных интегралах. При этом функцию предполагаем непрерывной или, самое большее, допускающей разрывы вдоль конечного числа кусочно-гладких поверхностей (но во всяком случае сохраняющей ограниченность). Таким образом, существование обоих интегралов в равенстве (28) не вызывает сомнений; нужно установить лишь самое равенство [2].

Разложив кусочно-гладкими поверхностями области и на (соответствующие друг другу) элементарные части и , применим к каждой паре областей , формулу (25); получим

, (29)

где есть некоторая точка области не зависящая от выбора. Возьмем соответствующую точку области , т. е. положим

, , , (30)

и составим интегральную сумму для первого из интегралов (28):

.

Подставив сюда вместо , , выражения (30), а вместо —выражение (28), придем к сумме

,

которая, очевидно, уже является интегральной суммой для второго из интегралов (28).

Устремим к нулю диаметры областей , вследствие чего в силу непрерывности соответствия устремятся к нулю и диаметры областей . Сумма должна стремиться одновременно к обоим интегралам, откуда и следует требуемое равенство.

Как и в случае двойных интегралов формула (28) имеет место и при нарушении сформулированных выше при доказательстве формулы (26) предположений в отдельных точках или вдоль конечного числа кусочно-гладких линий и поверхностей, лишь бы якобиан сохранял ограниченность.

Можно пойти дальше при расширении условий применимости формулы (28), допуская и несобственные интегралы. Подчеркнем еще раз, что при указанных там условиях формула имеет место в предположении существования одного из интегралов (28), существование другого отсюда уже будет вытекать [2].

В заключение упомянем, что формулы (26) и (28) могли быть написаны и без знака абсолютной величины при якобиане. Для этого чтобы иметь право на это, следовало бы ввести понятие об ориентированном теле (в связи с ориентированием его границы), затем в зависимости от его ориентации приписывать тот или другой знак его объему и распространенному на тело интегралу.

3. Методические основы изучения раздела темы“Тройные интегралы и их приложения” и их применение в педагогическом вузе

3.1 Психолого-педагогические аспекты образования в высшей школе

В настоящее время нет, пожалуй, более спорной проблемы в педагогике и психологии высшей школы, чем проблема воспитания студентов. “Надо ли воспитывать взрослых людей?”, “Стоит ли и корректно ли это делать?” Ответ на эти вопросы зависит от того, как понимать воспитание. Если его понимать как воздействие на личность с целью формирования нужных воспитателю, вузу, обществу качеств, то ответ может быть только отрицательным. Если как создание условий для саморазвития личности в ходе вузовского обучения, то ответ должен быть однозначно положительным.

Зачем нужен преподаватель в вузе, только ли как носитель и «передатчик» информации? Но как раз в этом качестве он значительно уступает многим другим источникам информации, таким, например, как книги и компьютеры. Вуз служит не только и может быть не столько для передачи специальных знаний, сколько для развития и воспроизведения особого культурного слоя, важнейшим элементом которого является и сам специалист. Специалиста как представителя определенной культуры характеризует не только специфический набор знаний и умений, но и определенное мировоззрение, жизненные установки и ценности, особенности профессионального поведения и т.п. Поэтому он не только передает студенту знания и профессиональные умения, а приобщает его к определенной культуре, и чтобы эта культура развивалась и воспроизводилась, необходимы живые люди, живое человеческое общение [28].