Страница
21
.
№5. Вычислить тройной интеграл , если область
ограничена цилиндром
и плоскостями
,
и
[22].
Решение:
Перейдем к цилиндрическим координатам: ,
,
,
.
Уравнение цилиндра в этих координатах примет вид:
или
, т.е.
.
Следовательно, в области координаты
,
и
изменяются так:
,
,
.
Поэтому
.
Студент у доски, остальные работают самостоятельно, в конце решения сравнивают полученный результат
№6. Вычислить , если область
- верхняя половина шара
[17].
Решение:
Введем сферические координаты ,
,
,
.
Новые переменные изменяются в пределах ,
,
.
Таким образом,
.
№7(Преподаватель у доски) Вычислить объем тела, ограниченного сферой и параболоидом
[3].
Решение:
Найдем проекцию линии пересечения сферы и параболоида на плоскость . Для этого достаточно из системы уравнений
,
исключить переменную
. В результате получим:
или
, откуда
и
- корни квадратного уравнения.
Следовательно, уравнением проекции будет окружность .
В силу симметрии достаточно вычислить объем тела находящегося в 1 октанте, и результат умножить на 4. Тогда согласно формуле:
для искомого объема получим
Так как проекция данного тела на плоскость
есть круг
, то для вычисления последнего интеграла целесообразно перейти к цилинричиским координатам.
После преобразования по формулам: ,
,
уравнения окружности
, параболоида
и сферы
, соответственно принимают вид:
,
и
. Из рисунка видно, что в области интегрирования
угол
изменяется от
до
,
- от
до
,
- от
до
. Поэтому
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Современные особенности управления системой образования на примере Челябинской области
- История педагогики и философии образования
- Формирование дивергентного мышления старшеклассников в процессе изучения обществознания
- Активизация учебной деятельности младших школьников
- Формирование познавательной активности у учащихся специальных начальных классов в процессе обучения математике