Элементы наглядной топологии в профильной школе

Материал курса структурирован таким образом, что не требует адаптации для учащихся 10-х классов школ математического профиля. Изложение материала построено так, что четко выражается взаимосвязь между отдельными темами.

Требования к математической подготовке учащихся

Тема 1. Знакомство с топологией. Деформация эластичных тел.

Ученик должен иметь представление:

о истории развития

геометрии, в частности, топологии;

о применении топологии в повседневной жизни;

о деформации эластичных тел.

Ученик должен знать:

определение топологии;

определение непрерывной деформации.

Ученик должен уметь:

деформировать эластичные тела на плоскости;

доказывать задачи на деформацию одного эластичного тела в другое.

Тема 2. Узлы и зацепления.

Ученик должен иметь представление:

о понятии узла и зацепления.

Ученик должен знать:

определение узла;

определение зацепления;

определение изотопных узлов и зацеплений;

определение эквивалентных узлов;

определение ориентации;

определение обратимых узлов;

узел трилистник;

узел восьмерка;

зацепление Хопфа;

зацепление Уайтхеда;

кольца Борромео;

свойства колец Борромео.

Ученик должен уметь:

различать узлы;

изображать узел трилистник;

изображать узел восьмерка;

изображать зацепление Хопфа;

изображать зацепление Уайтхеда.

Тема 3. Заклеивание узлов и зацеплений.

Ученик должен иметь представление:

о понятии заклеивания узлов и зацеплений;

о понятиях ориентируемости и неориентируемости;

о понятиях ориентируемой и неориентируемой поверхности;

о бутылке Клейна;

о поверхности с краем;

о поверхности без края;

о листе Мёбиуса;

об алгоритме Зейферта;

о поверхности Зейферта.

Ученик должен знать:

определение ориентируемости;

определение неориентируемости;

определение поверхности;

определение ориентируемой поверхности;

определение неориентируемой поверхности;

определение поверхности с краем;

определение поверхности без края;

определение листа Мёбиуса;

алгоритм Зейферта;

определение поверхности Зейферта.

Ученик должен уметь:

изображать лист Мёбиуса на плоскости;

различать ориентируемые поверхности и неориентируемые поверхности;

различать поверхности с краем и поверхности без края.

Тема 4. Инвариант узла.

Ученик должен иметь представление:

о понятии инвариантности узла;

о понятии правильной раскраски;

Ученик должен знать:

определение инварианта узла;

определение правильной раскраски;

теорему об инварианте узла.

Тема 5. Гомеоморфизмы.

Ученик должен иметь представление:

об изотопных фигурах;

о понятии гомеоморфных фигур.

Ученик должен знать:

определение изотопных фигур;

определение гомеоморфных фигур.

Ученик должен уметь:

различать гомеоморфные и не гомеоморфные фигуры;

различать изотопные фигуры.

Тема 6. Векторные поля на плоскости.

Ученик должен иметь представление:

о понятии непрерывного векторного поля;

Ученик должен знать:

определение непрерывного векторного поля;

определение особой точки векторного поля;

определение индекса особой точки;

определение индекса кривой;

теорему об индексе кривой.

Тема 7. Двумерные поверхности.

Ученик должен иметь представление:

о понятии двумерных поверхностей;

о видах двумерных плоскостей.

Ученик должен знать:

определение двумерной поверхности;

виды двумерных поверхностей;

Ученик должен уметь:

изображать ручку на плоскости;

изображать тор на плоскости;

изображать бутылку Клейна на плоскости;

различать двумерные поверхности без края;

различать двумерные поверхности с краем.

Содержание курса

Тема 1. Знакомство с топологией. Деформация эластичных тел.

Цели и задачи электива. История развития геометрии, в топологии. Применение топологии. Определение топологии. Деформация эластичных тел. Непрерывная деформация.

Тема 2. Узлы и зацепления.

Определение узла. Определение зацепления. Изотопные узлы и зацепления. Эквивалентные узлы. Ориентация. Обратимые узлы. Узел трилистник. Узел восьмерка. Зацепление Хопфа. Зацепление Уайтхеда. Кольца Борромео. Свойства колец Борромео.

Тема 3. Заклеивание узлов и зацеплений.

Ориентируемость. Неориентируемость. Определение поверхности. Ориентируемая поверхность. Неориентируемая поверхность. Поверхность с краем. Поверхность без края. Лист Мёбиуса. Алгоритм Зейферта. Поверхность Зейферта.

Тема 4. Инвариант узла.

Инварианта узла. Правильная раскраска. Теорема об инварианте узла.

Тема 5. Гомеоморфизмы.

Изотопные фигуры. Гомеоморфные фигуры.

Тема 6. Векторные поля на плоскости.

Непрерывное векторное поле. Особая точка векторного поля. Индекс особой точки. Индекс кривой. Теорема об индексе кривой.

Тема 7. Двумерные поверхности.

Двумерная поверхность. Виды двумерных поверхностей. Лист Мёбиуса. Бутылка Клейна. Ручка. Тор. Проективная плоскость.

Тематическое планирование

Курс рассчитан на полгода год. Всего 16 уроков, по 1 часу в неделю.

Методические рекомендации по проведению элективного курса «Элементы наглядной топологии»

Тема 2. Узлы и зацепления.

Знания и умения.

Учащиеся должны знать понятие узла и зацепления. Уметь распознавать и изображать такие узлы, как трилистник, восьмерка. Знать и уметь изображать зацепление Хопфа и Уайтхеда. Изображать кольца Борромео. Знать свойства колец Борромео.

Методические рекомендации.

Дать определение узла. Наглядно показать ученикам изображения узлов: трилистник (выделить существование левого и правого трилистника), узел восьмерка. Доказать, что левый и правый трилистники – разные узлы. Рассказать, что узлы можно рассматривать с ориентацией, дать определение ориентации. Дать определение эквивалентности узлов. Определить какие элементарные операции можно производить с узлами. Ввести понятия: изотопности и обратимости узлов. Привести примеры обратимых и необратимых узлов.