Элементы наглядной топологии в профильной школе

Ввести понятие зацепления. Наглядно показать ученикам изображения зацеплений: зацепление Хопфа, зацепление Уайтхеда. Рассказать, что для зацепления Хопфа существует симметрия относительно прямой, меняющая местами компоненты зацепления.

Показать учащимся кольца Борромео. Рассказать об их свойствах.

Рассказать о классификации узлов и зацеплений. Показать иллюстрацию таблицы узлов.

Тем

а 7. Двумерные поверхности.

Знания и умения.

Определение двумерной поверхности. Виды двумерных поверхностей. Изображение ручки, тора, листа Мёбиуса, бутылки Клейна. Различать двумерные поверхности без края. Различать двумерные поверхности с краем.

Методические рекомендации.

Дать определение двумерной поверхности. Ввести понятия поверхности с краем и без края. Привести примеры поверхностей с краем и без края.

Рассмотреть виды двумерных поверхностей. Лента Мёбиуса и ее свойства. Ручка. Тор. Бутылка Клейна. Проективная плоскость. Указать какие двумерные поверхности являются поверхностями с краем и без края.

В качестве наглядного пособия можно воспользоваться иллюстрациями, где изображены: лента Мёбиуса, тор, ручка, бутылка Клейна и проективная плоскость.

Методика проведения занятия по теме «Узлы и зацепления»

Тема: Узлы и зацепления.

Тип урока: Урок введения нового материала; урок-практикум.

Цели урока:

Обучающая: Обеспечить формирование на наглядном уровне целостной системы ведущих знаний о предмете топология.

Ознакомить с понятием узлов и зацеплений на наглядном уровне для дальнейшего изучения данного раздела математики.

Развивающая: Обеспечить у школьников развитие пространственного мышления.

Оборудование:

Литература;

Доска;

Приложения у каждого ученика.

Этапы урока:

Организационный момент.

Проверка домашнего задания.

Актуализация знаний.

Введение нового материала.

Закрепление изученного материала:

Решение задач практического содержания.

Итог урока, постановка домашнего задания:

Подведение итогов урока;

Информация о домашнем задании для учащихся.

Ход урока.

Узлы.

- Ребята, сегодня на уроке мы поговорим о таких важных понятиях в топологии, как узлы и зацепления. Сначала, определим понятие узла.

Узлы – предметы простые и наглядные. Вы, конечно, встречались с ними в повседневной жизни, но, может быть, не подозревали, что это объекты еще и математические. Чем отличается математический узел от узлов, которые завязывают на галстуках или шнурках ботинок? Естественно, в математике узел – это некая абстракция, рассматривается не веревка и не шнур, а бесконечно тонкая, гибкая и растяжимая нить. Кроме того, рассматривая математический узел, нужно как-то зафиксировать его концы (обычно говорят, что один конец уходит в бесконечность «вверх», а другой — в бесконечность «вниз» рис. 1), либо просто соединить их. В этом случае модель узла - замкнутая несамопересекающаяся кривая в пространстве. Будем предполагать, что эта кривая является ломаной, т.е. состоит из отрезков.

Представим узел в виде гибкой, растяжимой нити, концы которой соединены.

Самый простой узел – тривиальный. Узел называется нетривиальным, если он не эквивалентен тривиальному, т.е. его нельзя «пошевелить» (возможно растягивая, но не разрывая нить) так чтобы он превратился в тривиальный.

Рассмотрим несколько примеров нетривиальных узлов:

Наиболее простой узел:

Правый трилистник

Он называется трилистник, или точнее,- правый трилистник. Потому что существует ещё левый трилистник:

Левый и правый трилистники,- разные узлы, их нельзя продеформировать друг в друга. Под деформацией узла понимается деформация его как эластичного тела.

Вслед за трилистником по сложности идёт узел восьмёрка, своей формой напоминающей цифру 8:

Узел восьмерка

Обычно узлы рассматривают с ориентацией, т. е. считают, что задано направление обхода кривой, это направление изображается стрелкой.

Дадим математически строгое определение эквивалентности узлов. Напомним, что узел — это ломаная. С этой ломаной можно производить следующие элементарные операции

B

два последовательных звена AS и ВС ломаной заменить звеном АС;

звено АС заменить двузвенной ломаной АВ U ВС.

Обе операции разрешены, только если треугольник ABC не пересекается (в пространстве) ни с какими другими кусками нашего узла. Например, в ситуациях, показанных на рис. 8 (а), (б) эти операции производить можно, а в ситуации, показанной на рис. 8 (в), — нельзя.