Элементы наглядной топологии в профильной школе

(а) (б) (в)

Рисунок 8

Определение 1. Теперь назовём два узла эквивалентными, если их можно элементарными операциями превратить в совершенно одинаковые (совмещаемые сдвигом) узлы.

Например, тривиальный узел эквивалентен плоскости окружности.

Введем еще два понятия.

Определение 2. Узлы и зацепления, которые можно продеформировать друг в друга, называют изотопными.

Определе

ние 3. Узел называется обратимым, если он эквивалентен своему обратному, т.е. тому же узлу, проходимому в обратном направлении.

Пример. Трилистник обратим, так как направление обхода можно заменить на обратное плавным поворотом на 180° вокруг оси l.

Среди узлов, имеющих не более 8 пересечений, есть только один необратимый: это узел 817 (см. таблицу узлов в иллюстрации 3).

Распознать, обратим ли данный узел, непросто. Первое строгое доказательство необратимости было проведено только в 1962 году. Общего алгоритма для решения этой проблемы не найдено до сих пор.

Деформируя узел, его можно сильно запутать. А если даже такой простой узел как трилистник или восьмёрка, запутан не очень сильно, то распознать его бывает нелегко. Посмотрите, пожалуйста, на вторую иллюстрацию:

Не сразу заметно, что в верхнем углу изображён один и тот же узел (трилистник) и на нижнем ряду тоже (восьмёрка). Более того, некоторые изображения трилистника очень похожи на изображения восьмёрки.

Зацепления.

Если взять не одну нить, а несколько, и у каждой из них соединить концы, то получим зацепление.

На доске изображены три зацепления, они имеют определённые названия:

Для зацепления Хопфа существует симметрия относительно прямой, которая меняет местами нити (меняются местами компоненты зацепления). Симметрия относительно прямой в пространстве является поворотом на 180° относительно этой прямой. Поэтому существует деформация, которая меняет местами компоненты зацепления Хопфа.

Рассмотрим зацепление Уайтхеда. Перережем компоненту (нить) 1 в верхней части на нашем рисунке, затем проведём через этот разрез ту же самую нить ровно один раз и вновь соединим концы перерезанной нити. После этого, нити, из которых состоит зацепление, можно будет расцепить. Как проделать эту операцию для нити 1,- очевидно. Как сделать ту же самую операцию для нити 2 мы рассмотрим чуть позже, когда будем решать задачи.

Зацепление Борромео (такие кольца нарисованы на гербе знаменитого рода Борромео):

Зацепление Борромео имеет интересные свойства:

Эти кольца попарно не зацеплены, то есть после удаления любого кольца, остаётся пара незацеплённых колец;

Если любые два из колец Борромео зацепить простейшим образом (то есть так, чтобы они образовали зацепление Хопфа), то после этого третье кольцо можно будет снять с этого зацепления.

Существует бесконечное множество разных типов узлов и зацеплений. Типы узлов (зацеплений) принято классифицировать следующим образом. Для их классификации составляют таблицы узлов (иллюстрация 3) — перечень всех простых узлов, допускающих проекции на плоскость.

Для облегчения поиска узлы имеют стандартное обозначение: первая цифра указывает число пересечений, а вторая (расположенная в индексе) — порядковый номер узла.

Решение задач.

Уровень А.

Задача 1. Доказать, что все узлы, изображённые на иллюстрации 2 (см. Приложение I) в нижнем ряду, можно продеформировать друг в друга.

Решение: Проще всего изготовить восьмёрку из верёвки или шнурка, а затем попытаться получить из этого узла все узлы, изображенные на иллюстрации в нижнем ряду. Выполнить некоторые преобразования узла восьмёрка поможет данный рисунок (на доске):

Задача 2. Доказать, что все узлы, изображённые на иллюстрации 2 в верхнем ряду, можно продеформировать друг в друга.

Решение: Можно изготовить трилистник из верёвки или нити, а затем попытаться получить из этих узлов все узлы, изображённые на данной иллюстрации.

Задача 3. Расположите зацепление Уайтхеда так, чтобы его компоненты были симметричны относительно некоторой прямой.

Решение:

Задача 4. Узел называют зеркальным, если он эквивалентен своему зеркальному отражению (т.е образу при симметрии относительно плоскости). Докажите, что узел восьмерка зеркален.

Решение:

Задача5. Докажите, что узел восьмерка обратим.

Решение: Узел восьмерка обратим, так как направление обхода можно заменить на обратное плавным поворотом на 180° вокруг оси.

Задача 6. Проделать для компоненты 2 зацепления Уайтхеда операцию перерезания и соединения концов перерезанной нити.

Решение: Проведём нить через разрез, как показано на рисунке 1 в иллюстрации 4. Процесс расцепления верёвок можно изобразить так, как это изображено на рисунках 2-6 в данной иллюстрации.

Задача 7. Докажите, что все зацепления, изображенные на рисунке, попарно изотопны (т.е. все эти диаграммы изображают зацепление Уайтхеда).

Решение: Можно сделать из одной или нескольких веревок данный узел или зацепление, расположить его на столе в виде данной диаграммы а затем попытаться получить из него другую диаграмму.

Задача 8. Доказать второе свойство зацеплений Борромео.

Решение: Кольца Борромео попарно не зацеплены, поэтому два кольца можно развести в разные стороны. Третье при этом как-то обовьётся вокруг них. Нарисуем, как именно оно будет расположено. Для этого, выясним сначала, что происходит с верёвкой, проходящей между двумя прутами, при перестановке этих прутов, в процессе которой прут 2 проходит над прутом 1:

Теперь легко понять, что происходит с третьим кольцом Борромео при разведении двух колец в разные стороны:

Будем считать, что те два кольца, которые мы раздвинули, представляют собой жёсткие обручи с какими-либо устройствами, позволяющие при желании сцеплять и расцеплять их (например, с развинчивающимися цилиндрами), а третье кольцо представляет собой верёвку. При этом верёвку снять с обручей нельзя:

Но если мы зацепим обручи, то верёвку можно будет снять:

В самом деле, на данном рисунке (на доске) изображено то же самое зацепление, что и на рисунке с зацеплением Борромео.

Уровень В.

Задача 9. Что получится после разрезания по средней линии ленты с тремя полуоборотами? Что получится после повторения этой процедуры?

Решение: Прежде всего, отметим, что краем скрученной ленты служит трилистник. После первого разреза получим двустороннюю поверхность, ограниченную двумя трилистниками (которые зацеплены друг с другом). После второго разреза получим две двусторонние ленты в виде трилистника, которые будут зацеплены друг с другом. Разрезав обе эти ленты, получим 4 двусторонние ленты в виде трилистника, зацепленные друг с другом. На п-м шаге получим 2n-1 зацепленных лент в виде трилистника.

Задача 10. Линяя А (рисунок) не разрезает тор Т на две части, а линия С разрезает. Изотопны ли А и С в фигуре Т? Изотопны ли А и С в трехмерном пространстве?

Задача 11. Докажите, что меридиан А и параллель В тора Т (см. рис. Задачи 10) изотопны в Т.