Методика реализации межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математике

Выражаясь образно, они играют роль «дорожных указателей», облегчающих движение в «лабиринте понятий». [7]

Конструирование схем и таблиц проводится так, чтобы в них отражались генетические связи, которые определяют основное содержание и структуру всей темы; они должны быть легко читаемы, в них особым способом должны быть выделены основные смысловые элементы.

Ценность их состоит в том, чт

о по мере дальнейшего изучения материала они могут периодически обновляться.

Динамичность подобных схем способствует развитию динамичности умственной деятельности школьников, выражающейся в их способности включать известные понятия, факты в новые связи и отношения, причем это включение идет не спонтанно, а целенаправленно, по нужному руслу.

Методы работы с данными схемами могут быть различными: учитель проводит эвристическую беседу, выразив ее результаты в виде схемы; учитель предлагает учащимся план беседы, а затем по составленному плану проводит ее; учитель предлагает схему, по которой учащиеся самостоятельно проводят обобщение; учитель предлагаем самостоятельно обобщить материал и выразить результаты обобщения в виде схемы

К составлению систематизирующих таблиц и схем учащиеся должны подготавливаться постепенно. На первом этапе учащимся следует предлагать готовые схемы и таблицы. После уяснения их основного назначения, существенных сторон их составления школьникам можно дать заполнение таких схем и таблиц. Этап самостоятельного конструирования явится завершающим. Следовательно, вначале учитель выполняет основную роль, а затем постепенно происходит вытеснение его участия самостоятельной работой школьников.

Схемы, которые можно использовать при работе с внутрипонятийными и межпонятийными связями, различают по их назначению, степени абстрактности и широте охвата учебного материала.

Так, например, по назначению выделяют схемы, объекта (они отражают структуру объекта) и схемы ориентации в объектах (они отражают взаимосвязи между объектами). Примерами схем объектов могут служить те, которые изображены на рисунках 16,17, примерами схем ориентации в объектах — рисунке 30,31,32. [2]

Схемы объекта используются на этапе введения понятия и по способу взаимодействия связеобразующих элементов носят локальный характер. Схемы ориентации в объектах используются для тематического повторения и предназначены для систематизации и обобщения изученного учебного материала. Их ценность состоит в том, что они отражают то общее, что характеризует в сознании учащегося системные знания по изученной теме.[7]

2.3 Взаимосвязь алгебры и начала анализа в процессе решения задач

Наиболее полное осуществление принципа дифференцированного подхода к каждому учащемуся реализуется в процессе решения задач. Первое и основное требование к подбору задач состоит в том, чтобы каждая из них носила творческий характер, способствовала пониманию учащимися основ теории, приобщению их к той или иной важной математической идее. Решение задач должно быть важным средством интенсификации процесса обучения математике. Именно задачи могут обеспечить органическое единство изучения всех тем курса математики.

Задачный материал внутри каждой темы должен быть подобран таким образом, чтобы его решение способствовало уяснению учащимися данной темы и новых математических идей, заложенных в ней; помогало осуществить повторение предыдущего материала на основе нового, решить старые задачи новыми методами; содержало в себе пропедевтику последующих тем курса.[3]

В настоящей статье мы хотим показать реализацию принципа тесной взаимосвязи между различными темами курса алгебры и математического анализа в классах с углубленным изучением математики. Такая связь дает учителю возможность одновременно заниматься изучением сегодняшнего материала, повторением вчерашнего и подготовкой к освоению завтрашнего: тем самым каждая тема изучается не сама по себе, а в комплексе с другими. Это способствует развитию творческого мышления, экономии времени, интенсификации учебного процесса, лучшему усвоению материала, закреплению максимального количества навыков и умений.

Возможность осуществления этого принципа мы рассмотрим на примере решения задач, так или иначе связанных с темой «Многочлены».

В теме «Действительные числа» часто рассматриваются задачи на доказательство того факта, что данное число является иррациональным.

Пример 1. Доказать, что число а = Ö2 + Ö3 иррациональное.

Решение. Предположим противное: пусть а — число рациональное. Тогда а2 = 5 + 2Ö6 и Ö6= -число рациональное. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение неверно — число а = Ö2 + Ö3 иррациональное.

Пример 2. Доказать, что число а = 3Ö2 + 3Ö3 иррациональное.

Решение. Предположим противное: пусть aÎQ, тогда

а3 = 2 + 3 + З3Ö6 (3Ö2 + 3Ö3), а3 - 5 = За3Ö6

и 3Ö6 = (а3 — 8) — число рациональное. Мы снова пришли к противоречию, доказывающему, что 3Ö2 + 3Ö3 — число иррациональное.

Заметим, что схема решения в обоих случаях одинакова. Предположив, что данное число рациональное после возведения в соответствующую степень, мы приходим к противоречию — в одной части равенства получается число иррациональное, в другой рациональное.

Казалось бы, нет никаких преград для решения подобных задач с другими числовыми данными. Однако следующий пример показывает, что это не совсем так.

Пример 3. Доказать, что число х0 = 3Ö2 + 3Ö4 иррациональное.

Решение. После возведения в куб получается равенство

или , (2)

которое не дает возможности сделать заключение, подобное сделанному при решении примеров 1 и 2. Приходится искать новые пути решения. Один из таких путей появляется после изучения в теме «Многочлены» следующей теоремы и ее следствий:

Пусть несократимая дробь х0 =(pÎZ, qÎN) является корнем многочлена апхn + ап-1хn-1 + . + а1х1 + а0 (ап ¹ 0) с целыми коэффициентами. Тогда р — делитель а0, q — делитель ап.

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Следствие 2. Всякий рациональный корень приведенного многочлена с целыми коэффициентами является целым.

Теперь можно воспользоваться следующим алгоритмом для доказательства иррациональности числа а:

1. Составить приведенный многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число а.

2. Доказать, что он либо вовсе не имеет целых корней, либо ни один из его возможных целых корней не может быть равен а.

Возвратимся к примеру 3. Переписав равенство (2) в виде — 6x0 — 6 = 0, видим, что число хо = 3Ö2 + 3Ö4 является корнем приведенного многочлена х3 — 6х — 6. Число хо = 3Ö2 + 3Ö4 рациональным быть не может, так как иначе оно должно быть целым, но 2 < 3Ö2 + 3Ö4< 4, а число 3 корнем данного многочлена не является. Следовательно, х0 = 3Ö2 + 3Ö4 — число иррациональное.

 Скачать реферат