Методика реализации межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математике

Обобщающее повторение на уровне системы понятий предлагает такую ориентацию учащихся в учебном материале, которая бы позволяла определить и усвоить общий способ преобразования этого материала на основе соответствующих предметных и знаковых моделей. К таким знаковым моделям относятся классификационные схемы, сводные таблицы, определенные записи, опорные конспекты. Они позволяют придать полученны

м при обобщающем повторении систематизированным знаниям определенную структуру.

Покажем на примерах, как может быть организовано обобщающее повторение на уровне системы понятий.

1. В теме «Сумма углов треугольника» курса геометрии 7 класса центральными являются признаки и свойства параллельных прямых, теорема о сумме углов треугольника.

Учитель может для обобщающего урока заготовить четыре чертежа (рис. 35 — 36), по которым учащимся будет предложено доказать теорему о сумме углов треугольника. Доказательства, проводимые по каждому из рисунков, подключают каждый раз другой набор знаний, полученных школьниками в этой теме.

В случае, изображенном на рисунке 35 школьники используют свойство внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей, понятие развернутого угла; в случае изображенном на рисунке 36, в работу подключается понятие вертикальных углов и их свойства.

Остановимся более подробно на доказательстве теоремы по рисунку 38.

Дано: D ABC. Доказать: ÐA+ÐB+ÐC=180°.

Доказательство.

Проведём прямые AD, BF и ЕС, перпендикулярные прямой АС. Так как AD^AC и EC^AC, то AD||BF.

Так как BF^AC и EC^AC, то BF||ЕС ÞAD||EC.

Ð5+Ð1=90°, Ð6+Ð4=90°. Ð5+Ð1+Ð6+Ð4=180°. (*)

При такой работе над центральной теоремой курса геометрии учащиеся сами устанавливают связи между элементами знаний.

2. Выше отмечалось, что организация обобщающего повторения на уровне системы понятий ставит цель сформировать у учащихся умение подводить объект под понятие. Зачастую, если речь идёт о теоремах, выражающих свойства и признаки понятий, учитель ограничивается повторением формулировок теорем в том виде, в котором они давались при первоначальном введении. Больше же пользы может оказать переосмысление теорем в виде указаний к их использованию.

Таким образом, можно поступить, например, при обобщении тем «Параллельность прямых и плоскостей» и «Перпендикулярность прямых и плоскостей в курсе стереометрии 10 класса.

1) Если надо установить параллельность двух плоскостей, то следует

проверить одно из условий:

- найдутся ли в одной из плоскостей две прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым в другой плоскости;

- найдется ли плоскость, параллельная каждой из двух данных плоскостей;

- найдется ли прямая, перпендикулярная каждой из двух плоскостей.

2) Если надо установить перпендикулярность прямой и плоскости, то следует проверить одно из условий:

- будет ли прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости;

- будет ли эта плоскость перпендикулярна прямой, параллельной данной плоскости;

- будет ли прямая перпендикулярна плоскости, параллельной данной плоскости;

- будет ли прямая перпендикулярна линии пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей, одна из которых данная, а в другой лежит эта прямая.

Аналогично можно поступать и в случаях установления параллельности прямой и плоскости, параллельности двух прямых, перпендикулярности двух плоскостей, перпендикулярности двух прямых.

Обобщающее повторение на уровне системы понятий формирует у учащихся целостное представление об изучаемом материале. Следует при этом отличать системные знания от систематичных. Систематичность знаний есть лишь необходимое, но недостаточное условие формирования системных знаний. Если систематичность знаний подразумевает реализацию линейных связей, то систематичность знаний — реализацию объемных связей, получаемых путем структурирования линейных. Объемные связи при повторном изложении материала на уроках обобщающего повторения разворачиваются в линейные, но они уже отличаются от тех, которые конструировались в системе первичного изложения материала.

3. Обобщающее повторение на уровне теорий.

На уровне теорий обобщающее повторение дает определенную трактовку изученным понятиям с позиции тех или иных фундаментальных идей, которые рассматриваются в курсе. На этом уровне все большее место начинает занимать обобщение и конкретизация в их единство.

Основная сущность обобщающего повторения данного вида состоит в том, что строится единая, общая форма многообразия частных фактов, явлений, понятий, выясняется не столько содержание понятий, сколько их происхождение, и анализу подвергается природа самих понятий.

Приведем примеры обобщающего повторения на уровне теорий.

В курсе "Алгебра и начала анализа" при обобщении материала темы "Производная" на уровне теорий можно с позиции теории дифференциального исчисления показать учащимся, как с помощью понятия производной получают единую трактовку такие понятия, как скорость химической реакции, мгновенная скорость прямолинейного движения и т. д.

Целесообразно так же более тесно связать понятие производной с такими содержательно — методическими линиями курса математики, как линия уравнений и неравенств, линия тождественных преобразований.

Понятие производной функции может быть использовано при доказательстве тождеств, усилится прикладная направленность курса, расширится класс решаемых задач.

Рассмотрим решение задачи, которая может быть предложена учащимся.

Докажите, что для всех неотрицательных х справедливо неравенство:

Рассмотрим функцию

на промежутке [0;¥).

Найдём производную этой функции:

При любом значении х >0 справедливо неравенство f (х)>0. Это значит, что на промежутке (0;+¥) функция f(x) возрастает. В то же время замечаем, что функция f(x) на промежутке х>0 есть непрерывная функция, как сумма непрерывных функций. А это значит, что она на левом конце этого промежутка при х=0 принимает своё наименьшее значение.

А так как

то для любого х³0 f(x)³0, т.е.

откуда

Рассмотрим ещё один пример обобщающего повторения на уровне теорий.

Обобщая материал о применении производной к приближённым вычислениям, можно показать учащимся идею линеаризации функции. Суть этой идеи состоит в следующем.

В случае непрерывности функции у=f(x) в некоторой точке х0 её значения для всех значений аргумента из достаточно малой окрестности точки х0 приближённо равны значению f(x0). Если же к свойству непрерывности функции в точке х0 добавить ещё одно свойство, а именно её дифференцируемость в этой точке, то значения функции y=f(x) в достаточно малой окрестности точки х0 приближённо могут быть заменены значениями некоторой линейной функции y=kx+b (как впоследствии будет выяснено, это уравнение есть уравнение касательной к кривой y=f(x), проведённой к ней в точке с абциссой х0).

 Скачать реферат