Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе

При создании электронного пособия придерживались принципа модульности. Для этого была построена структурная схема, соответствующая поставленной задаче. Она состоит из следующих блоков:

заставка; несет информацию о названии изучаемой темы.

основное меню программы; последнее состоит из следующих компонентов:

1. Набранные в электронном виде фондовые лекции по теме "Функциональные

последовательности и ряды", содержат необходимый и достаточный для изучения теоретический материал по данной теме. А именно:

Основные понятия (функциональная последовательность, функцио-нальный ряд, область сходимости функционального ряда, предельная функция. Равномерно сходящийся функциональный ряд, мажорантный ряд);

Определения сходящихся функциональных последовательности и ряда;

Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательности и ряда;

Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда (признак Вейерштрасса);

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов;

Теоремы о почленном интегрировании функциональных последовательностей и рядов;

Теоремы о почленном дифференцировании функциональных последовательностей и рядов [11].

2. Практика 1. Первое в III семестре практическое занятие по теме "Функциональные ряды". Проводится ознакомление с понятиями функциональной последовательности и функционального ряда, сходимости и области сходимости функциональных рядов, суммы функционального ряда. Рассмотрено 3 типовых примера и по каждому примеру предложено соответственно 10, 5 и 3 задания для самостоятельного решения.

3. Практика 2. Пользователь знакомится с понятиями равномерной сходимости функциональной последовательности и рядов, признаком Вейерштрасса равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда. Приведено 2 примера на доказательство равномерной сходимости функционального ряда на промежутке с помощью определения равномерной сходимости и признака Вейерштрасса соответственно. Предложено по 8 заданий для самостоятельного решения.

4. Практика 3. Рассмотрены теоремы о свойствах равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов, о почленном интегрировании и дифференцировании функциональных последовательностей и рядов. Приведено 3 типовых примера (исследование ряда на интегрируемость и дифференцируемость и нахождение суммы ряда с помощью теорем о почленном интегрировании и дифференцировании функционального ряда). Предложено соответственно 5, 5 и 3 заданий по соответствующим темам для самостоятельного решения.

5. Тест. Представляет собой контрольную работу по проверке домашнего задания к практике 1. Рекомендуется проводить вначале следующего практического занятия. По своей структуре тест представляет собой основную форму от которой можно перейти к блокам:

Тест непосредственно. Этот блок открывается только после введения кода, что гарантирует достоверность информации об усвоении знаний. Тестирование студент может пройти только после того как занесет свои данные в компьютер. После прохождения теста выдается результат, который автоматически заносится в журнал.

Журнал результатов. Содержит информацию о результате тестирования и дате его прохождения. Данные могут стираться и распечатываться. Доступ к журналу имеет только преподаватель.

6. Историческая справка. Рассматривает исторические данные по разделу математического анализа "Ряды". Здесь описываются работы Архимеда, Ньютона, Эйлера, Меркатора, Лейбница, Грегори, Бернулли, Тейлора и других известных математиков.

Описанные компоненты электронного пособия могут добавляться, изменяться или заменяться в ходе обучения. Таким образом предоставляются большие возможности для личностной творческой работы. Преподаватель и студенты могут участвовать в составлении собственного электронного пособия, в добавлении к нему материалов или заданий без существенных затрат на переиздание. В "бумажных" учебниках такая возможность не предусмотрена, конструирование студентами личностного содержания образования затруднено. Максимально, что может сделать студент, это оставить на полях "бумажного" учебника свои пометки. Электронное пособие предоставляет возможность внесения в него изменений преподавателем. Преподаватель может быстро добавить в пособие свежие данные или те материалы, которые он нашел в других электронных библиотеках, книгах или в сети Интернет.

§8. Разработка практических занятий

Практическое занятие №1

Тема: "Функциональные последовательности и ряды"

Тип занятия: практикум решения задач.

Форма занятия: комбинированная между коллективной и фронтальной.

Средства обучения на занятии: сборник задач, методические рекомендации к практическим занятиям, телевизор, подключенный к компьютеру, графопроектор, доска, мел.

Цель: закрепление знаний, полученных на лекции, применение их на практике.

Методы: словесные, наглядные, по дидактической цели - познавательные, по характеру познавательной деятельности - проблемные.

Ход занятия:

Организационная часть: Студентам сообщается тема практического занятия, его цель, проверка присутствующих (3 минуты).

Основная часть: Проводится фронтальный опрос теоретического материала по изучаемой теме (12 минут). Ознакомление с новым материалом, первичное закрепление и осмысление (70 минут). Затем, подведение итогов и постановка домашнего задания. (5 минут).

Конспект занятия

Преподаватель: Тема сегодняшнего занятия: "Функциональные последовательности и ряды". Цель - приобрести навыки решения задач по вышеуказанной теме. На лекции вы познакомились с понятием функциональных последовательности и ряда, кроме того, вам была предоставлена возможность самостоятельно, с помощью электронного учебника по теме "Функциональные последовательности и ряды" познакомиться с историей развития функционального ряда. Ну, а теперь перейдем непосредственно к практическим вопросам по вышеуказанной теме и для начала проверим домашнее задание.

Проводится фронтальный опрос с целью проверки теоретических знаний по изучаемой теме. Студентам предлагается отвечать на следующие вопросы у доски, выполняя необходимые при ответе записи. К доске вызываются сразу 3-4 студента.

Вопрос 1: Сформулировать определение функциональной последовательности.

Ответ: Определение №1. Пусть дана последовательность функций . Причем функции являются функциями одной переменной и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной и обозначается [14].

Вопрос 2: Определить, что называют предельной функцией последовательности ?

Ответ: Определение №2. Функция называется предельной функцией последовательности , если выполняется утверждение .