Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе
Значит, область сходимости исходного функционального ряда: .
Проверим сходимость исходного функционального ряда при и
.
Если , т
о получим - числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
.
Если , то получим
- числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
.
Итак, область абсолютной сходимости исходного функционального ряда - .
II способ.
Определим и
заданного ряда:
,
.
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда можно записать:
.
Если , т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.
Исследуем на сходимость исходный функциональный ряд при и
.
Если , то получим
- числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
Если , то получим
- числовой знакочередующийся ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
.
Ответ: область абсолютной сходимости исходного функционального ряда - .
Пример №4 (№339 из [7], с комментариями преподавателя).
Найти область сходимости функционального ряда:
.
Решение
Найдем общий элемент заданного функционального ряда . Если
, то
; Так как
, то ряд расходится.
Если , то получается числовой положительный ряд вида
. Он является расходящимся, так как
, следовательно,
.
Если , то элементы исходного функционального ряда меньше членов суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
. Для убывающей геометрической прогрессии
,
,
при
.
Значит, ряд сходится при
.
Следовательно, будет сходиться при и заданный функциональный ряд, т.е. областью сходимости является объединение интервалов -
.
Ответ: Область сходимости заданного функционального ряда - .
Первичное закрепление материала происходит при решении студентами у доски упражнений, подобных рассмотренным с преподавателем, к доске вызываются сразу 3-4 студента.
Пример №5 (№2 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).
Найти область сходимости функционального ряда:
Решение
Определим формулу общего элемента заданного функционального ряда N.
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда имеем:
В соответствии с признаком Даламбера абсолютной сходимости функционального ряда, если , т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно.
При , т.е.
, исследуемый функциональный ряд расходится.
При x=3 функциональный ряд становится положительным числовым рядом вида . Этот ряд расходится, так как является гармоническим рядом
.
При х=-3 функциональный ряд становится знакочередующимся числовым рядом вида: .
По признаку Лейбница: а) ; б)
, так как
.
Значит, ряд сходится условно по признаку Лейбница.
Составим ряд из абсолютных величин членов ряда . Получим ряд
- это гармонический расходящийся ряд.
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Развитие творческого воображения у детей младшего школьного возраста
- Формирование этнотолерантного сознания учащихся
- Художественное развитие личности в системе культуры: филогенетический и онтогенетический аспекты
- Упражнения в управлении токарным станком
- Условия преодоления дислексии и дисграфии у детей "группы риска", обучающихся во 2 классе
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения