Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе
Следовательно, функциональный ряд сходится к
при
. Члены ряда
являются непрерывными функциями при
R.
Осталось доказать, что функциональный ряд равномерно сходится на промежутке
.
Для можно найти такое
, что
.
По признаку Даламбера сходимости положительных числовых рядов получим . А так как
, то
и, значит, числовой ряд
сходится.
Значит, по признаку Вейерштрасса будет равномерно и абсолютно сходиться функциональный ряд на промежутке
.
Следовательно, функциональный ряд на промежутке
можно почленно продифференцировать:
,
, т.е. сумма функционального ряда
непрерывно дифференцируема.
при
.
Ответ: при
.
Пример №35 (№113 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).
Найти сумму ряда .
Решение
По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных ря-дов имеем: . Если
, т.е.
, то заданный функциональный ряд сходится абсолютно. Так как ряд сходится, то его остаток оценивается с помощью неравенства
, т.е.
. Неравенства
и
равносильны, значит, взяв
, где
- какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию
, приходим к неравенству
.
Итак, заданный функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно в промежутке .
Кроме того, члены заданного функционального ряда являются непрерывными функциями R.
Найдем производную общего члена заданного функционального ряда: . Исследуем функциональный ряд
на абсолютную и равномерную сходимость. Для
можно найти такое
, что
. По признаку Даламбера сходимости числовых рядов имеем:
, так как
, то числовой ряд сходится абсолютно.
Значит, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов, ряд сходится равномерно и абсолютно при
.
Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно продифференцировать.
Продифференцируем почленно заданный функциональный ряд и получим такой функциональный ряд:
.
Полученный ряд при представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии с
.
Тогда и
при
.
Итак, сумма ряда при
, т.е.
.
Функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится при
, и функция
непрерывна при
. Значит, ряд
можно почленно интегрировать. Проинтегрировав в пределах от
до
, находим
при
.
Ответ: при
.
В конце занятия подводятся итоги, выставляются оценки, оговаривается домашнее задание.
Преподаватель: Итак, подведем итог: на сегодняшнем занятии мы с вами научились исследовать функциональные ряды на интегрируемость и диф-ференцируемость, а также применять теоремы о дифференцируемости и интегрируемости рядов для нахождения их суммы. Для окончательного закрепления на дом будут заданы аналогичные примеры.
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Воспитательная система сельской школы
- Развитие мышления у детей старшего дошкольного возраста в процессе формирования элементарных математических представлений
- Роль внеклассных воспитательных мероприятий в нравственном развитии личности
- Аутентичность учебного текст
- Современное целеполагание в области иноязычного образования: проблемы и пути решения
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения