Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе
Используя равенство пункта 1, подставим вместо левую часть утверждения
.
Так как по условию теоремы функции непрерывны в точке
width=35 height=19 src="images/referats/27276/image209.png">, то на основании определения 1 непрерывности функции в точке можно записать
.
Перейдем к пределу при в последнем равенстве:
.
Так как последовательность функций будет равномерно сходиться к предельной функции
, то верно следующее утверждение:
.
С учетом записанного равенства, равенство пункта 5 примет вид:
.
Сравним равенства пункта 3 и пункта 7. Правые части равны, значит, равны и левые: .
Теорема доказана [14].
§9. Почленное интегрирование функциональных рядов
Теорема 6. Если последовательность непрерывных на функций
сходится равномерно на указанном отрезке к предельной функции
, то
последовательность определенных интегралов с переменным верхним пределом
будет сходиться равномерно на
к определенному интегралу
, причем будет справедлива следующая формула:
.
1) Так как по условию теоремы последовательность функций равномерно сходится к пределу функции
на
т.е.
, то
функция будет непрерывна на
на основании теоремы 5.
2) Известна теорема, что если функция непрерывна на , то она интегрируема на указанном отрезке, т.е. существует определенный интеграл
,
3) В силу равномерной сходимости последовательности функции к пределу функции
на основании определения равномерной сходимости функциональной последовательности можно записать:
.
4) Рассмотрим разность двух определенных интегралов с переменным верхним пределом под знаком модуля:
=
(на основании свойства определенного интеграла).
5) С учетом неравенства пункта 3 можно написать:
.
6) Если правую часть последнего неравенства заменить на , то получим неравенство:
, что равносильно выражению
, но
, поэтому
,
.
Теорема доказана [14].
Следствие. Пусть функции непрерывны на
и функциональный ряд
равномерно сходится на указанном отрезке, тогда
функциональный ряд вида
будет равномерно ходиться на отрезке
к
или к
, т.е. справедлива
формула: .
Таким образом, можно сказать, что функциональный ряд можно почленно интегрировать, т.е.
.
Доказательство
1) Так как по условию следствия функциональный ряд равномерно сходится на
, то частичная последовательность его функций будет также равномерно сходиться к предельной функции
, т.е.
.
Причем и
непрерывны в каждой точке отрезка
на основании только что доказанной теоремы:
.
3) Но представляет собой частичную сумму такого ряда:
.
4) А является суммой ряда
.
На основании доказанной теоремы можно записать:
5) Последнее равенство можно переписать следующим образом:
.
Теорема доказана.
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Изучение особенностей грамматического строя речи у дошкольников с общим речевым недоразвитием
- Методика развития экспериментально-исследовательских умений школьников на уроках учебного предмета "Окружающий мир"
- Наглядность в обучении географии
- Игры в изучении экономики
- Использование современных информационных технологий с целью формирования и совершенствования речевых грамматических навыков учащихся средней общеобразовательной школы
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения