Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе

Домашнее задание: Практическое занятие №14 из [9].

Ниже приведены решенные номера домашнего задания:

Пример №36 (№95 из [10]).

Можно ли к ряду

применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?

Решение

Функциональный ряд можно почленно продифференцировать, если члены ряда и производные его чл

енов непрерывны, а сам ряд и ряд, составленный из производных членов его ряда, сходятся равномерно на данном промежутке.

Рассмотрим заданный функциональный ряд :

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Составим ряд из производных членов заданного функционального ряда

.

Исследуем полученный функциональный ряд:

a) члены ряда являются непрерывными функциями для R, N;

б) так как при R, N, то справедливо неравенство при R, N;

в) но - числовой положительный сходящийся ряд (ряд Дирихле с );

г) значит, функциональный ряд сходится равномерно и абсолютно при R по признаку Вейерштрасса.

Следовательно, заданный функциональный ряд можно почленно дифференцировать.

Ответ: Теорему о почленном дифференцировании применить можно.

Пример №36 (№96 из [10]).

Можно ли к ряду применить теорему об интегрировании функциональных рядов в любом конечном промежутке ?

Решение

Функциональный ряд можно почленно интегрировать на отрезке , если на указанном промежутке его члены непрерывны, и ряд равномерно сходится.

Элементы функционального ряда являются непрерывными функциями для R.

Кроме того, по признаку Вейерштрасса заданный функциональный ряд равномерно и абсолютно сходится на R, а, значит, и на отрезке .

Действительно, так как:

а) для R, N;

б) для R;

в) - числовой положительный сходящийся ряд. По признаку Даламбера , 0<1.

Значит, теорему о почленном интегрировании к функциональному ряду на отрезке применить можно.

Ответ: Можно почленно проинтегрировать функциональный ряд .

Пример №37 (№106 из [10]).

Дифференцируя прогрессию получить новые разложения. Решение

Ряд сходится на интервале , как сумма убывающей геометрической прогрессии. Производная общего члена заданного функционального ряда примет вид: . Составим ряд из производных:

.

Исследуем полученный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

если , т.е. , то ряд сходится абсолютно.

Ответ: При дифференцировании заданной прогрессии получен ряд .

Пример №38 (№109 из [10]).

Убедиться, что ряд можно продифференцировать почленно.

Решение

Исследуем заданный функциональный ряд на сходимость. По признаку Даламбера абсолютной сходимости функциональных рядов имеем:

,

Так как , то ряд сходится абсолютно при R. Тогда остаток ряда можно оценить с помощью неравенства , т.е.

.