Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе
Вопрос 3: Дать понятия функционального ряда и его области сходимости.
Ответ: Определение №3. Ряд, элементами которого являются функции одной и той же переменной , заданной в области
:
назыв
ается функциональным рядом.
Определение №4. Совокупность всех значений переменной , при которых функции
определены и ряд
сходится, называют областью сходимости функционального ряда.
Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит какой-нибудь промежуток оси .
Вопрос 4: Что называют суммой функционального ряда?
Ответ: Пусть дан функциональный ряд и он сходится при каждом фиксированном
из
, тогда сумму такого ряда представляет собой некоторую функцию переменной
:
. Сумма для функционального ряда определяется также как и для числового:
. Здесь
- частичная сумма функционального ряда n-го порядка
[14].
Преподаватель: Итак, а теперь приступим непосредственно к выполнению упражнений.
При объяснении нового материала, на экран телевизора выводится задание с подробным решением, преподаватель комментирует решение, студенты записывают в тетради. При объяснении материала следует обратиться к технологической карте по теме "Функциональные последовательности и ряды" (см. Гл. II, §6), в которой отмечены затруднения при изучении данной темы, а также типичные ошибки, допускаемые студентами.
Практические задания должны рассматриваться по принципу "от простого к сложному". Вначале необходимо выполнить упражнения на исследование сходимости функционального ряда в точке. Такого вида упражнения помогают студентам обнаружить взаимосвязь числового и функционального рядов, а также лучше понять "природу" функционального ряда. Пример №1 (№338 из [7], с комментариями преподавателя).
Дан функциональный ряд:
,
исследовать его сходимость в точках и
.
Решение
В точке получаем числовой положительный ряд
.
Исследуем полученный ряд на сходимость, применив признак Далам-бера сходимости положительного числового ряда:
,
так как , то числовой положительный ряд расходится. А значит, заданный функциональный ряд расходится в точке
.
В точке получаем числовой положительный ряд:
.
Исследуем полученный ряд на сходимость, применив признак Даламбера сходимости положительного числового ряда:
,
так как , то числовой положительный ряд
сходится. Следовательно, функциональный ряд
сходится, причем абсолютно, в точке
.
Ответ: Функциональный ряд сходится абсолютно при и расходится при
. Пример №2 (№345 из [7], студент решает у доски самостоятельно). Дан функциональный ряд:
.
Исследовать его сходимость в точках ,
и
.
Решение
При ряд примет вид
- числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
.
При ряд примет вид
- числовой положительный ряд. Он расходится, так как необходимое условие сходимости числового ряда не выполняется, т.е.
.
При ряд примет вид
. числовой положительный ряд. По признаку Даламбера сходимости числового положительного ряда имеем:
, т.е. ряд сходится. Значит, исходный функциональный ряд сходится в точке
абсолютно.
Ответ: Заданный функциональный ряд сходится абсолютно в точке и расходится в точках
и
.
Пример №3 (№1 из [10], с комментариями преподавателя).
Найти область сходимости функционального ряда:
.
Решение
I способ.
Найдем общий элемент заданного функционального ряда:
Исследуемый функциональный ряд представляет собой сумму убывающей геометрической прогрессии при , т.е. при
, где
,
.
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Развитие математических способностей у детей 5-6 лет
- Особенности представлений об окружающем мире умственно-отсталых детей
- Особенности организации воспитательного процесса в среднем профессиональном образовании
- Влияние уровня знаний детей о цвете на уровень изобразительных умений детей старшего дошкольного возраста
- Нравственное воспитание школьников в процессе преподавания начального курса географии
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения