Исследование функциональных последовательностей и рядов в вузе
Вопрос 1: Какая последовательность называется равномерно сходящейся?
Ответ: Определение №1. Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на множестве
, если существует функция
, в которой она равномерно сходится на множестве . Обозначение:
[14].
Вопрос 2: Какой функциональный ряд называется равномерно сходящимся? Сформулировать определение такого ряда, используя понятие последовательности его частичных сумм.
Ответ: Определение №2. Если последовательность частичных сумм функционального ряда
равномерно сходится к функции
на множестве
, то ряд равномерно сходится на множестве
[21].
Вопрос 3: Дать определение равномерно сходящегося функционального ряда, используя понятие остатка функционального ряда.
Ответ: Определение №3. Представим сумму функционального ряда в виде: , где
[
-остаток функционального ряда].
Определение №4. Сходящийся функциональный ряд называется равномерно сходящимся в некоторой области
, если для каждого сколь угодно малого числа
найдется такое положительное число
, что при
выполняется неравенство
для любого
из области
. При этом сумма
равномерно сходящегося ряда
в области
, где
(n=1,2,3…) - непрерывные функции в области
, есть непрерывная функция.
Вопрос 4: Сформулировать достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда - признак Вейерштрасса.
Ответ: Теорема. Пусть даны два ряда: функциональный , элементами которого являются функции
, определенные на множестве
, и числовой положительный сходящийся ряд
. Тогда, если для всех
выполняется неравенство
, то функциональный ряд
равномерно и абсолютно сходится на множестве
.
Преподаватель: А теперь рассмотрим задание на исследование равномерной сходимости функционального ряда.
Пример №16 (№349 из [7], c комментариями преподавателя).
Показать, что ряд
сходится равномерно при всех действительных значениях .
Решение
Данный ряд при любом значении сходится по признаку Лейбница, поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства
, т.е.
.
Так как неравенства и
равносильны, то, взяв
, где
- какое-нибудь целое положительное число, которое удовлетворяет условию
, приходим к неравенству
. Итак, данный ряд сходится рав-номерно в промежутке
при всех
.
Ответ: Доказана равномерная сходимость для R.
Пример №17 (№51 из [10], студент у доски с помощью преподавателя).
Исследовать на равномерную сходимость ряд
на любом конечном интервале.
Решение
Докажем, что каково бы ни было число , данный ряд сходится равномерно и абсолютно в круге радиусом
, т.е.
.
Заданный ряд сходится при любом значении , в частности, при
, получаем числовой ряд:
.
Исследуем его на абсолютную сходимость, применив признак Даламбера . Так как
, то ряд
сходится, причем абсолютно.
Возьмем этот ряд в качестве мажорантного, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда при
.
Значит, заданный ряд равномерно и абсолютно сходится при
.
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Психологические аспекты использования социальных сетей в обучении
- Разновидности педагогических конфликтов
- Развитие творческого воображения у детей старшего дошкольного возраста на занятиях декоративным рисованием
- Особенности эстетического воспитания подростков
- Методические особенности подготовки учащихся к государственной итоговой аттестации по химии в условиях малокомплектной сельской школы
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения