Использование мультимедийных средств при изучении свойств степенной функции в общеобразовательной школе

В учебнике рассматриваются степенные функции с целым показателем. Теоретический материал по теме «Степенная функция» включен в главу «Числовые функции» отдельными параграфами, в которых рассматриваются как сами функции, так и их свойства и графики.

Доступное для школьников изложение материала, включено большое число примеров с детальными и обстоятельными решениями в 1-й части (в учебнике),

а упражнения для самостоятельной работы помещены во 2-й части (в задачнике).

Далее определяются степенные функции, как функции с натуральным показателем (сначала приводятся частные случаи степенных функций, затем выявляется общая формула). Рассматриваются степенные функции с четным показателем степени, их графики, по которым позже выявляют свойства (область значения и область определения функции, четность и нечетность, монотонность, непрерывность, наибольшее и наименьшее значение функции, выпуклость). Далее рассматриваются степенные функции с нечетным показателем степени, а так же их графики и свойства.

В § 13 определяют степенные функции с отрицательными показателями: сначала четные функции, затем нечетные. Аналогично степенным функциям с натуральным показателем приводятся частные случаи:

После чего выявляется общая формула, так же рассматриваются графики и свойства

В § 14 вводится функция

ее свойства и график, как частный случай степенной функции с рациональным показателем n =

Преобразование графиков (симметрия) сводится к тому, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной относительно начала координат. Поэтому, для степных функций рассматривается данная функция на определенном луче, строится ее график и, используя симметрию, строится график на всей числовой прямой. Далее производится чтение графика, т. е. по графику перечисляются свойства функции по схеме:

1) область определения;

2) четность, нечетность;

3) монотонность;

4) ограниченность снизу, сверху;

5) наименьшее и наибольшее значения функции;

6) непрерывность;

7) область значений;

8) выпуклость.

При построении графиков функции автор в решении выделяет два этапа, в которых:

а) переходит к вспомогательной системе координат с началом в точке, в которой получены значения при х = 0 и у = 0.

б) «привязывает» функцию к новой системе координат.

Пример 3. Построить график функции

Решение. Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (-1;-2) (пунктирные прямые на рис. 117) и «привяжем» функцию к новой системе координат. Получим требуемый график (рис. 117)

В задачнике “Алгебра. 9класс.” под редакцией Мордкович А. Г. и Семенова П. В. представлена разнообразная система упражнений. Набор упражнений делится на два блока: первый содержит задания двух базовых уровней: устные (полуустные) и задания средней трудности; второй блок содержит задания уровня выше среднего или повышенной трудности. К большинству задач второго и третьего уровней приведены ответы. Задачник содержит большое количество разнообразных заданий на построение графиков различных видов степенной функции и определении свойств функции по ее графику. Например:

№ 12.10. Постройте график функции:

№ 12.15. Решите графически уравнение

а)

б) ; г) .

№ 12.19. Постройте и прочитайте график функции

а)

б)

в)

г)

Постройте и прочитайте график функции

№ 12.27.

№ 12.30.

Учебник: “Алгебра. 9 класс”. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. (Просвещение, 2006г.)

Данный учебник предназначен и для общеобразовательных классов, в которых дополнительные материалы и сложные задачи можно не рассматривать. Если же имеется достаточно часов, если класс проявляет интерес к математике, то за счет дополнений в конце глав учебника, а также пунктов и отдельных задач со звездочкой, необязательных в обычных общеобразовательных классах, можно расширить и углубить содержание изучаемого материала до объема, предусмотренного программой для классов с углубленным изучением математики. То есть учебник можно использовать как в обычных, так и в классах с углубленным изучением математики.

§4. Корень степени

Свойства функции

График функции

Понятие корня степени

Корни четной и нечетной степеней

Арифметический корень

Свойства корней степени

*Корень степени из натурального числа

*Функция

Изучение темы начинается со свойств функции (на примере n = 2 и n = 3) и ее графика. Затем изучаются корень степени n, арифметический корень и свойства корней степени n, а также их применение к преобразованию выражений. В классах с углубленным изучением математики дополнительно рассматриваются темы: «Функция », «Степень с рациональным показателем и ее свойства».

Утверждается, что функции имеют ряд одинаковых свойств (область определения, нули функции, четность, нечетность, непрерывность, промежутки монотонности). Поэтому целесообразно рассмотреть в общем случае функцию , где - некоторое натуральное число, . Введение определения графика функции ведется через определение параболы. Т. е., по известному факту, что график функции – парабола, далее этот график называют параболой второй степени, график функции , называют параболой – й степени или, коротко, параболой . Свойства функции рассматриваются только для неотрицательных с некоторыми доказательствами.