Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

Следующий результат совсем не очевиден, его доказательство принадлежит великому математику 20 века Гёделю и основано на идее нумерации.

Теорема 2. Множество конечных последовательностей рациональных чисел счетно.

Доказательство. Пусть N какой-нибудь пересчет рациональных чисел. Найдем по формуле номер конечной последовательности рациональных чисел

,

где pn – простое число с номером n, т.е. p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, … Поскольку каждое натуральное число однозначно разлагается на простые множители, то по номеруоднозначно восстанавливаются номера N(x1), N(x2), …, N(xn), а по каждому из них и рациональные числа x1, x2, …, xn. ÿ

Для нас центральным в этом пункте является следующая

Теорема 3. Множество алгебраических чисел счетно.

Доказательство. Каждый многочлен полностью задается своими коэффициентами, значит, многочлен с рациональными коэффициентами полностью определяется конечной последовательностью рациональных чисел. Следовательно, по теореме 2 таких многочленов счетное число. Каждый из многочленов имеет конечное число корней, значит, алгебраических чисел заданной степени счетное число. Множество алгебраических чисел представляют собой объединение указанных множеств, значит, по теореме 1 это множество счетно. ÿ

30. Число точек на отрезке [0;1].

Теорема Кантора. Точек на отрезке [0;1] несчетное множество.

Доказательство. Применим так называемый процесс Кантора. Предположим от противного, что точек на отрезке [0;1] счетное число, значит, их можно выписать в последовательность a1, a2, a3, … Запишем каждое из чисел в виде бесконечной десятичной дроби:

a1 = 0, a11 a12 a13 …,

a2 = 0, a21 a22 a23 …,

a3 = 0, a31 a32 a33 …, и т.д.

Построим число, лежащее на отрезке [0;1] и отличное от перечисленных. Для этого положим b = 0, b1b2 … bn …, считая, что все цифры, входящие в запись числа b отличны от 0 и 9, а также цифра b1 отлична от цифры a11, цифра b2 отлична от цифры a22, …, цифра bn отлична от цифры ann, и т.д. Если b оказалось бы равным некоторому числу an, то были бы равны цифры bn и ann, что противоречит определению числа b. ÿ

Теперь мы можем дать ответ на сформулированный в начале пункта вопрос: каких чисел больше алгебраических или неалгебраических? Больше чисел неалгебраических, чем алгебраических, поскольку первое множество несчетно, а второе счетно.

У приведенной теоремы Кантора есть один «серьезный недостаток», она не позволяет указать хотя бы одно неалгебраическое число.

Впервые о существовании трансцендентных чисел заявил Лиувилль в 1844 году, заметив, что иррациональные алгебраические числа не допускают «очень сильных» приближений рациональными числами. Эрмит в 1873 году доказал трансцендентность числа e, а трансцендентность числа p доказал Линдеман в 1882 году. Следует отметить особо, что с помощью этого факта была решена проблема, стоявшая почти 20 веков – задача о квадратуре круга: можно ли с помощью циркуля и линейки построить квадрат равновеликий кругу радиуса 1?

На языке алгебраических чисел задачу о квадратуре круга можно переформулировать так: можно ли число p записать в виде алгебраического выражения, содержащего рациональные числа, знаки арифметических действий и знак квадратного корня (знаки действий и корня могут использоваться любое конечное число раз).

Так вот, Линдеман доказал, что так получить число p нельзя, разрешив даже использовать радикалы любой степени, а не только второй.

Одновременно и независимо друг от друга в 1934 году советский математик Гельфонд и немецкий математик Шнейдер доказали, что число не является алгебраическим, решив седьмую проблему Гильберта.

Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделах математики. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Доказательство трансцендентности конкретных чисел представляет собой решение трудных математических проблем.

Примерная программа факультатива «Алгебраические числа»

Введение. Тема «Алгебраические числа» может быть рассмотрена в системе углубленного изучения математики, однако, в соответствии с существующей на данный момент образовательной программой не является обязательной: она связана с расширением существующего содержания по сравнению с общеобразовательным курсом.

В 1997 году Н.Я.Виленкин выпустил учебник «Алгебра» для учащихся школ с углубленным изучением математики. В данном пособии он выделил отдельную главу, посвященную теории многочленов и предлагает на рассмотрение многие вопросы, носящие скорее необязательный характер. Среди них находится и тема «Алгебраические числа». В этом учебнике проводится изучение симметрических многочленов на примере многочленов от двух переменных. К сожалению, в учебнике нет алгебраических чисел, играющих важную роль в математике, ввиду их обширных применений. В контексте алгебраических чисел устанавливаются разнообразные связи между различными разделами и направлениями математики. Например, многочлены, поля, комплексные числа, построения с помощью циркуля и линейки, диофантовы уравнения – вот далеко неполный перечень соответствующих направлений.

Как мы уже говорили, основной целью изучения многочленов в школе является не столько изучение самой теории многочленов, сколько совершенствование изучения математики с помощью элементарных понятий и методов теории многочленов.

Поэтому главной задачей изучения темы является не формирование прочных и устойчивых навыков использования соответствующего математического аппарата при решении задач, а демонстрация новых понятий и идей.

Раздел I. История возникновения и развития числовых понятий

Ученик должен иметь представление:

об истории развития математики и возникновении основных понятий – число, уравнение, многочлен от нескольких переменных, поле, алгебраическое число, счетное множество;

об основных задачах, приводящих к теории алгебраических чисел;

об именах великих математиков, внесших огромный вклад в науку.

Раздел 2. Симметрические многочлены.

Ученик должен иметь представление:

о понятии симметрического многочлена;

о виде элементарных симметрических многочленов;

о способах представления симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических;

Ученик должен знать:

формулировку основной теоремы о симметрических многочленах;

формулы Виета.

Ученик должен уметь (для степени 2 и 3):

приводить примеры симметрических многочленов;

записывать набор показателей старшего члена многочлена;

сравнивать старшие члены;

восстанавливать по старшему члену соответствующий одночлен от элементарных симметрических;

выражать симметрический многочлен через элементарные симметрические;