Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

Аналитическая геометрия использует алгебраические уравнения для представления и исследования кривых и поверхностей. Декарт считал приемлемой кривую, которую можно записать с помощью единственного алгебраического уравнения относительно х и у.

Аналитическая геометрия полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как заметил Лагранж, «пока алгебра и геометрия двигались каждая своим путем, их

прогресс был медленным, а приложения ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству». Следует отметить, что идея введения координат и проблемы, связанные с решением диофантовых уравнений, привели к открытию алгебраической геометрии – одного из важных разделов современной математики.

Основания математики.

Примерно до 1870 математики пребывали в убеждении, что действуют по предначертаниям древних греков, применяя дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, тем самым, обеспечивая своими заключениями не меньшую надежность, чем та, которой обладали аксиомы. Одним из недостатков евклидовых Начал было использование допущений, не сформулированных в явном виде. По-видимому, Евклид не подвергал сомнению те свойства, которыми обладали его геометрические фигуры, но эти свойства не были включены в его аксиомы. Кроме того, доказывая подобие двух треугольников, Евклид воспользовался наложением одного треугольника на другой, неявно предполагая, что при движении свойства фигур не изменяются. Но кроме таких логических пробелов, в Началах оказалось и несколько ошибочных доказательств. Задача усиления строгости формулировок евклидовой геометрии была сравнительно простой и сводилась к перечислению определяемых терминов, уточнению определений, введению недостающих аксиом и восполнению пробелов в доказательствах. Эту задачу выполнил в 1899 г. великий немецкий математик Д.Гильберт (1862–1943). Почти в то же время были заложены и основы других геометрий. Гильберт сформулировал концепцию формальной аксиоматики. Одна из особенностей предложенного им подхода – трактовка неопределяемых терминов: под ними можно подразумевать любые объекты, удовлетворяющие аксиомам. Следствием этой особенности явилась возрастающая абстрактность современной математики. Евклидова и неевклидова геометрии описывают физическое пространство. Но в топологии, являющейся обобщением геометрии, неопределяемый термин «точка» может быть свободен от геометрических ассоциаций. Для тополога точкой может быть функция или последовательность чисел, равно как и что-нибудь другое. Абстрактное пространство представляет собой множество таких «точек».

Аксиоматический метод Гильберта вошел почти во все разделы математики 20 в. Однако вскоре стало ясно, что этому методу присущи определенные ограничения. В 1880-х Кантор попытался систематически классифицировать бесконечные множества (например, множество всех рациональных чисел, множество действительных чисел и т.д.) путем их сравнительной количественной оценки – мощности множества (трансфинитные числа). При этом был обнаружен ряд парадоксов в теории множеств. Таким образом, к началу 20 в. математикам пришлось иметь дело с проблемой их разрешения, а также с другими проблемами оснований математики, такими, как неявное использование аксиомы выбора; ряд сомнений вызывал и закон исключенного третьего (или доказательство от противного). Однако ничто не могло сравниться с разрушительным воздействием теоремы неполноты, доказанной великим К.Гёделем (1906–1978). Эта теорема утверждает, что любая непротиворечивая формальная система, использующая аксиоматику натурального ряда, обязательно содержит неразрешимое предложение, т.е. утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в рамках формальной системы. Тем самым, было доказано, что абсолютного доказательства в математике не существует. Относительно того, что такое доказательство, мнения расходятся. Однако большинство математиков склонно полагать, что проблемы оснований математики являются философскими. Действительно, ни одна теорема не изменилась вследствие открытых формальных логических структур; это показывает, что в основе математики лежит не формальная логика, а здравая интуиция.

Если математику, известную до 1600 г., можно охарактеризовать как элементарную, то по сравнению с тем, что было создано позднее, элементарная математика бесконечно мала. Расширились старые области и появились новые, как чистые, так и прикладные отрасли математических знаний. Выходят около 500 математических журналов. Огромное количество публикуемых результатов не позволяет даже специалисту ознакомиться со всем, что происходит в той области, в которой он работает, не говоря уже о том, что многие результаты доступны пониманию только специалистами узкого профиля. Ни один математик сегодня не может надеяться знать больше того, что происходит в очень маленьком уголке науки. Однако это вовсе не означает, что следует заниматься только узким разделом математики. Математика едина по своей сути, ее идеи проникают из одной области в другую. Многие результаты и направления математических исследований вызваны непосредственными потребностями других наук.

Первичные понятие и простейшие свойства.

Из основного курса вам известны понятия одночлена и многочлена от нескольких переменных. Вы знакомы также с понятием степени и знаете ее свойства: при умножении многочленов степени складываются, при сложении многочленов степень не может увеличиться, она может уменьшиться.

10. Старшие члены многочленов. Далее, одночлены одной степени можно сравнивать, сравнивая их наборы показателей, например, набор (2, 3, 5) больше, чем набор (2, 3, 4), поэтому мы считаем, что одночлен 7x2y3z5 больше одночлена 12x2y3z4. Сравнивая одночлены, мы сравниваем только показатели сначала по первой переменной (в данном случае по x), потом по второй переменной (это y), затем по следующей переменной (это z). Коэффициенты при одночленах, в данном случае – это числа 7 и 12, мы никак не сравниваем.

Определение. Среди одночленов, входящих в многочлен, имеется самый большой в указанном выше смысле, он называется старшим членом многочлена.

Легко сообразить, что при умножении старших членов получается старший член произведения многочленов. Поскольку при сложении многочленов не могут появиться новые одночлены, то старший член суммы не больше старшего члена одного из слагаемых.

20. Понятие симметрического многочлена.

Определение. Многочлен ƒ (от нескольких переменных) называется симметрическим, если он не меняется при любом переименовании переменных.

Рассмотрим всевозможные переименования переменных.

Для двух переменных x и y возможно только одно переименование:

x → y, y → x, которое обозначим через (12).

Три переменные (x, y, z): x → y, y → z, z → x (его обозначим через (123));

аналогично вводятся переименования

(12) x → y, y → x, z → z; (13) x → z, z → x, y → y;

(23) x → x, y → z, z → y; (132) x → z, z → y, y → x и т.д.