Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

Приведем пример симметрического многочлена: ƒ = x2 + y2. Это многочлен от двух переменных, поэтому рассмотрим единственное возможное переименование переменных (12): (x2 + y2)(12) = y2 + x2 = ƒ. Следовательно, ƒ симметричен. Но следует заметить, что он несимметричен для переименования (23), так как (x2 + y2)(23) = y2 + z2, следовательно, данный многочлен не является симметрическим

от трех переменных.

Для дальнейшего изучения данной темы нам потребуются два утверждения, которые мы с вами примем без доказательства.

Критерий симметричности многочлена. Многочлен ƒ от n переменных симметричен тогда и только тогда, когда он не меняется при следующих двух переименованиях переменных (12) и (12…n).

Таким образом, проверять надо только два переименования переменных, а не n! («эн» факториал) переименований, указанных в определении симметрического многочлена. Напомним, что факториал n! определяется как произведение чисел от 1 до n!

В частности, для проверки симметричности многочлена ƒ от 3 переменных нам надо проверить меняется ли он при переименованиях (12) и (123).

Теорема. Сумма, разность и произведение симметрических многочленов являются симметрическими многочленами.

20. Элементарные симметрические многочлены.

Важными примерами симметрических многочленов служат элементарные симметрические многочлены. Приведем их для некоторых наборов переменных.

Для двух переменных (x, y) существует два элементарных симметрических многочлена:

j1 = x + y (сумма переменных);

j2 = xy (произведение переменных);

2. Для трех переменных существует три элементарных симметрических многочлена:

j1 = x + y + z (сумма переменных)

j2 = xy + xz + yz (сумма произведений двух различных переменных)

j3 = xyz (произведение трех переменных)

Для четырех переменных существует четыре элементарных симметричных многочлена:

j1 = x + y + z + t (сумма переменных)

j2 = xy + xz + xt + yz + yt + zt (сумма произведений по два)

j3 = xyz + xzt + yzt + xyt (сумма произведений по три)

j4 = xyzt (произведение всех переменных)

Приведем два утверждения о строении старших членов симметрических многочленов.

Лемма 1. Показатели степеней старшего члена симметрического многочлена расположены в невозрастающем порядке.

Докажем это утверждение для 3 переменных: x, y, z; общий случай рассматривается точно также. Пусть u – старший член; u = axiyjzk, где a – число, i, j, k – показатели степеней. Необходимо проверить, что i ≥ j ≥ k. Допустим от противного, что i<j. Тогда, так как f - симметричный многочлен, то f = f(12), значит, среди одночленов, входящих в его состав, содержится одночлен: (axiyjzk)(12) = axjyizk. Поскольку по предположению i<j, то одночлен axjyizk будет больше старшего члена, и это противоречит определению. Следовательно, i ≥ j. Аналогично проверяется неравенство j ≥ k. ÿ

Лемма 2. Каждый одночлен от элементарных симметрических многочленов однозначно определяется своим старшим членом.

Доказательство рассмотрим на примере. Пусть дан j-одночлен S = aj1ij2jj3k, т.е. одночлен от элементарных симметрических, зависящих от трех переменных x, y, z (a – произвольное число, отличное от нуля). Для того чтобы найти его старший член необходимо перемножить старшие члены элементарных симметрических многочленов. Ясно, что старший член j1 равен x, старший член j2 равен xy, старший член j3 – это xyz. Следовательно, старший член многочлена aj1ij2 jj3k имеет вид

axi(xy) j(xyz)k = axi+j+k y j+k zk.

Заметим, что если известен старший член u для j-одночлена S = aj1ij2jj3k, то можно найти числа a, i, j, k. Например, если u = 2x5y4z3, то a = 2,

i + j + k = 5, j + k = 4, k = 3,

значит, i = j = k = 1.

Тема 2.2. Основные теоремы о симметрических многочленах.

10. Представление симметрического многочлена через элементарные.

Основная теорема. Всякий симметричный многочлен единственным образом можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических.

Доказательство приведем на конкретном примере, рассматривая симметрический многочлен f = x3 + y3 + z3. Представление f в виде многочлена от элементарных симметрических оформим в виде алгоритма:

Шаг 0. Вводим начальный многочлен f0 = f, и находим его старший член – это x3. Используя лемму 2, восстанавливаем по старшему члену соответствующий одночлен от элементарных симметрических, в данном случае получаем s0 = φ13. Отметим еще раз, что многочлены f0 и s0 имеют одинаковые старшие члены.

Шаг 1. Полагаем f1 = f0 - s0:

f1 = f - s0 = x3 + y3 + z3 - (x + y + z)3 = – 3(x2y + y2x + …) - 6xyz.

В последней скобке стоят одночлены указанного вида от трех переменных; коэффициенты определяются по формуле «куба суммы».

Далее, находим старший член f1 - это одночлен –3x2y; и восстанавливаем по нему одночлен s1 от элементарных симметрических: s1 = –3φ1φ2. Отметим, что старшие члены многочленов f1 и s1 совпадают.

Шаг 2. Положим f2 = f - s1 = – 3(x2y + y2x + …) – 6xyz + 3φ1φ2 =

= – 3(x2y + y2x + …) – 6xyz + 3(x + y + z)(xy + yz + zx) =

= (-6 + 9)xyz = 3xyz = 3φ3.

В общем случае указанный алгоритм выдает две конечные последовательности многочленов: f0, f1, f2, … (в нашем случае f0, f1, f2), s0, s1, s2, … (в нашем случае s0, s1). В нашем случае f2 = 3φ3, процесс закончился на шаге 2, когда мы получили одночлен от элементарных симметрических. Положим s3 = 3φ3, и запишем систему равенств f0 = f,f1 = f0 – s0, f2 = f1 – s1, s2 = f2. Складывая почленно полученные равенства, получаем s2 = f - s0 - s1, откуда находим f = s0 + s1 + s1. Значит, f - сумма j-одночленов и в нашем случае f =j13 - 2j1j2 + 3φ3. ÿ

20. Метод неопределенных коэффициентов. Из доказательства основной теоремы вытекает

Следствие. Всякий симметрический многочлен f представим в виде многочлена g от элементарных симметрических, причем коэффициенты g являются целыми числами, если целыми числами были коэффициенты многочлена f.

Отметим без доказательства, что многочлен g, о котором идем речь в последнем утверждении находится по многочлену f однозначно. На этом замечании основан еще один способ представления симметрического многочлена через элементарные симметрические, называемый методом неопределенных коэффициентов. Этот метод является более эффективным при решении задач.

Проиллюстрируем его на примере многочлена f = x3 + y3 + z3. Так как наш многочлен содержит 3 переменные, то давайте распишем вектор-показателей (в данном случае тройку чисел), который отвечает показателям старшего члена при переменных x, y, z. Он имеет вид (3,0,0) (при x – степень 3, при y – 0, при z - 0).

Согласно алгоритму, указанному в основной теореме, на каждом шаге происходит уменьшение вектора показателей степеней у старшего члена. Выпишем тройки чисел показателей для всевозможных старших членов, заметив, что их компоненты располагаются в невозрастающем порядке согласно лемме 1:

(3,0,0) – соответствует старшему члену x3