Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

z + x = t, zx = t (z ¹ 0)

где z и t данные комплексные числа, x – неизвестное. Можно доказать, что указанные уравнения имеют единственные решения. Кроме того, отметим, что арифметические действия обладают известными для действительных чисел свойствами, в частности, можно по обычным правилам преобразовывать дробные выражения.

Существенным отличием от действительных чисел является не

возможность ввести на C порядок так, чтобы были выполнены основные свойства неравенств, в частности, почленное умножение неравенств.

30. Алгебраическая форма. Пусть i = (0;1) и называется мнимой единицей. Любое комплексное число представимо в виде z = a + bi, где a, b Î R, i – мнимая единица (i2 = - 1). Это алгебраическая форма комплексного числа z. Записывая пары в алгебраической форме, раскрывая по обычным правилам скобки, приводя подобные члены и используя равенство i2 = - 1, получим указанные выше определения действий сложения и умножения. В самом деле, (a, b)×(c, d) = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i = (ac - bd, ad + bc).

30. Тригонометрическая форма. Каждое комплексное число a + bi изобра-жается точкой (a, b) на плоскости. Вместо этой пары можно рассматривать другую пару действительных чисел, задающих ту же точку.

Проведем радиус-вектор в точку (a, b), пусть φ – угол между направлением оси 0x и данным радиус вектором, r – длина радиус-вектора.

Тогда число a + bi можем описать парой чисел (r, φ). При этом φ называется аргументом комплексного числа, а r – его модулем. Из прямоугольного треугольника имеем r2 = a2 + b2 (теорема Пифагора), значит, . Кроме того, используя понятия синуса и косинуса, получаем a = r cosφ, b = r sinφ. Тогда число z = a + bi представимо в виде: z = r (cosφ + sinφ). Указанное представление называется тригонометрической формой числа z. Отметим, что модуль числа находится однозначно, а аргумент с точностью до слагаемых вида 2pn, n – любое целое число.

40. Теорема Гаусса.

В множестве C комплексных чисел мы можем вычислить корень из отрицательного числа, и вообще корень любой натуральной степени. Всякое уравнение xn = z имеет ровно n корней. Более того, справедлива

Теорема Гаусса. Всякий многочлен n–ой степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней.

В частности, можно разложить на множители сумму квадратов действительных чисел, правда, сомножители при этом оказываются комплексными:

a2 + b2 = (a + bi)(a – bi).

Определение. Числа a + bi и a - bi называются комплексно сопряженными.

При этом пишут . Перечислим свойства комплексного сопряжения:

; ; ; .

Гауссу принадлежит строгое определение понятия комплексного числа; он же предложил их изображать как точки на плоскости. Независимо от Гаусса идея геометрического представления комплексных чисел пришла к менее известным математикам – датчанину К.Весселю и швейцарцу Ж.Аргану. Обозначение мнимой единицы буквой i принадлежит Эйлеру.

50. Расположение числовых систем. Изобразим рассмотренные выше числовые системы на диаграмме:

							Q		I
					R

Эта схема характеризует расширение понятия числа – центрального понятия во всей математике.

Подведем некоторый итог. Итак, многочлен с рациональными коэффициентами степени n имеет ровно n корней. Среди корней многочленов могут быть иррациональные и действительные числа. Может случиться, что все корни будут комплексными числами.

Тема 3.2. Алгебраические числа.

10. Понятие поля. Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий.