Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

Следовательно, одним из принципов развития мышления должно быть специальное формирование как алгоритмических, так и эвристических приемов умственной деятельности.

Итак, подведем итог по вопросу психологических особенностей данного возраста. Вся история психического развития в переходном возрасте состоит из этого перехода функций вверх и образования самостоятельных высших синтезов. Различные

функции не развиваются рядом друг с другом, как пучок веток, поставленных в один сосуд; они развиваются как связанные между собой общим стволом различные ветки единого дерева. В процессе развития все эти функции образуют сложную иерархическую систему, где центральной, или ведущей, функцией является развитие мышления, функция образования понятий. Все остальные функции вступают в сложную взаимосвязь с этим новым образованием и перестраиваются на основе мышления.

Содержание факультативного курса «Алгебраические числа»

Необходимо сделать одно замечание общего характера. В основу данного курса положены общие методические установки, разработанные Г.В. Дорофеевым. Основные методические идеи Г.В.Дорофеева были реализованы в учебном пособии, на которое мы серьезно опираемся и считаем «образцом для подражания». Предлагаемый курс можно рассматривать как расширение темы «Многочлены от одной переменной». К сожалению, за рамками курса остались задачи на построение с помощью циркуля и линейки, хотя в упражнениях есть несколько задач на эту тему и при желании вполне возможно более подробное изложение соответствующего материала.

Мы приведем примерное содержание данного раздела. По желанию учителя материал может быть дополнен и скорректирован. В дальнейшем по ходу изложения основного содержания также будут приведены исторические комментарии, отсутствующие в данном разделе. Заметим, что используемый материал взят из книг по истории математики, содержащихся в библиографии.

Центральным математическим понятием является число. Отметим сразу, что многочлены, поля, множества, функции тесно связаны с понятием числа. Впрочем, последнее замечание относится практически к любому математическому понятию. Для нас точкой отсчета является 1600 г. Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1614 логарифмов Дж. Непером. С начала 16 в. более широко стали употребляться иррациональные числа. Б.Паскаль (1623–1662) и И. Барроу (1630–1677), учитель Ньютона в Кембриджском университете, утверждали, что такое число, как , можно трактовать лишь как геометрическую величину. Однако в те же годы Р. Декарт (1596–1650) и Дж.Валлис (1616–1703) считали, что иррациональные числа допустимы и сами по себе, без ссылок на геометрию. В это время продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел. Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных уравнений комплексные числа, такие как , названные Декартом «мнимыми». Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя великий российский математик (швейцарец по происхождению) Л.Эйлер (1707–1783) с успехом пользовался ими.

Достижения в алгебре.

Решение задач, сводящихся к частным видам уравнений 2-ой и 3-ей степени, можно найти еще в древнем Вавилоне (2000 лет до н.э.). Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге Диофанта «Арифметика» (3 в. н.э.). В 16 в. итальянские математики Н. Тарталья (1499–1577), С. Дель Ферро (1465–1526), Л. Феррари (1522–1565) и Дж. Кардано (1501–1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней. Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, были введены символы: +, –, ×, ¤, , =, < и другие. Самым существенным новшеством стало систематическое использование французским математиком Ф. Виетом (1540–1603) букв для обозначения неизвестных и постоянных величин. Это нововведение позволило ему найти единый метод решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней.

Великий английский физик и математик И.Ньютон (1643–1727) открыл соотношение между корнями и дискриминантом [b2 – 4ac] квадратного уравнения, а именно, что уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет равные действительные, разные действительные или комплексно сопряженные корни в зависимости оттого, будет ли дискриминант b2 – 4ac равен нулю, больше или меньше нуля. В 1799 великий немецкий математик К.Гаусс (1777–1855) доказал так называемую основную теорему алгебры: каждый многочлен n-й степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней.

В течение почти 300 лет после открытия способов решения уравнений степени 3 и 4 делались безуспешные попытки решить в радикалах уравнения степени 5 и выше с буквенными коэффициентами. Такие попытки предпринимал великий немецкий математик Г. Лейбниц, но «бог распорядился иначе». Только в 1826 г. норвежский математик Н. Абель (1802–1829) доказал, что невозможно получить общее решение уравнения степени выше 4 с помощью конечного числа указанных операций. Это, правда, не исключало, что корни каждого конкретного уравнения с числовыми (а не буквенными) коэффициентами могут быть выражены в радикалах. Тем более, что существует много уравнений специального вида степени выше 4, допускающих такое решение.

Накануне своей гибели на дуэли французский математик Э. Галуа (1811–1832) дал решающий ответ на вопрос о том, какие уравнения разрешимы в радикалах. В теории Галуа использовались перестановки корней и было введено понятие группы, которое нашло широкое применение во многих областях математики. Примером уравнения неразрешимого в радикалах является уравнение x5 – 25x – 5 = 0. Нельзя не отметить теоретико-групповые и теоретико-полевые идеи и результаты великого французского математика Ж. Лагранжа (1736-1813), приблизившие решение проблемы разрешимости уравнений в радикалах. Кстати, весьма близок к решению проблемы был и Абель, которого сразила смерть в 1829 году, когда он интенсивно занимался этой проблемой и сообщил Лежандру свои результаты, уж очень близкие к результатам Галуа. Дальнейшее развитие возникших идей привело к созданию теорий групп, колец и полей – важнейших направлений современной алгебры.

Заметим, что разрешимость уравнений в радикалах тесно связана с вопросом о геометрических построениях с помощью циркуля и линейки, в частности, задача о построении правильного n-угольника. Эта задача в полном объеме была решена Гауссом, при этом потребовалось изучить корни n-ой степени из единицы в поле комплексных чисел.

Аналитическая геометрия.

Аналитическая или координатная геометрия была создана независимо видными французкими математиками П. Ферма (1601–1665) и Р. Декартом для того, чтобы расширить возможности евклидовой геометрии в задачах на построение. Однако Ферма рассматривал свои работы лишь как переформулировку сочинения Аполлония. Подлинное открытие – осознание всей мощи алгебраических методов – принадлежит Декарту. Декарт решил эту проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение – отрезок, имевший соответствующую длину. Собственно аналитическая геометрия возникла, когда Декарт начал рассматривать неопределенные задачи на построение, решениями которых является не одна, а множество возможных длин.