Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

(2,1,0) – соответствует старшему члену x2y

(1,1,1) – соответствует старшему члену xyz

Для каждой из троек приведем соответствующие φ–одночлены (т.е. одночлены от элементарных симметрических многочленов):

(3,0,0) → φ13

(2,1,0) → φ1φ2

(1,1,1) → φ3

Значит, многочлен f можно представить в виде f = aφ13 + bφ1φ2 + c`

6;3, где a,b,c – некоторые числа. Их нам надо найти.

Для того, чтобы их отыскать надо поступить так: присвоить какие-нибудь значения переменным x, y, z и посчитать в этой точке значения многочленов f, φ1, φ2, φ3.

Тем самым, каждый раз возникает линейное уравнение на числа a, b, c. Взяв необходимое число различных точек, и решив соответствующую систему линейных уравнений, найдем a, b, c. Для простоты вычислений точки надо выбирать так, чтобы в них было по возможности больше нулей, и при подстановке в наше равенство получилось бы уравнение относительно одной неизвестной. Обычно берут точки

(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1).

Рассмотрим точку t = (1,0,0) и вычислим f(t) = 1, φ1(t) = 1, φ2(t) = 0, φ3(t) = 0. Подставляя найденные значения в равенство f = aφ13 + bφ1φ2 + cφ3, получаем 1 = a·1, a=1, следовательно, f = φ13 + bφ1φ2 + cφ3. Точка t = (1,1,0) приводит к значениям

f(t) = 2, φ1(t) = 2, φ2(t) = 1, φ3(t) = 0,

следовательно, после подстановки в равенство f = φ13 + bφ1φ2 + cφ3, получаем

2 = 23 + 2b, b откуда = - 3, значит,

f = φ13 - 3φ1φ2 + cφ3.

Теперь считаем значения в точке t = (1,1,1):

f(t) = 3, φ1(t) = 3, φ2(t) = 3, φ3 t) = 1,

значит, 3 = 33 - 3×3×3 + c, c = 3. Итак, f = φ13 - 3φ1φ2 + 3φ3.

Тема 2.3. Некоторые применения основной теоремы.

10. Симметрические дроби.

Определение. Дробь вида f/g, где f, g – многочлены от нескольких переменных называется симметрической, если она не меняется при любых переименованиях переменных.

Нетрудно понять, что симметричность дроби не зависит от формы ее записи. Умножая числитель и знаменатель на подходящий многочлен, можно добиться, что знаменатель станет симметрическим многочленом, но тогда и числитель, очевидно, будет симметрическим многочленом. Отсюда на основании основной теоремы получаем следующий результат.

Теорема. Всякая симметрическая дробь представима в виде отношения двух многочленов, каждый из которых является многочленом от элементарных симметрических многочленов.

20. Симметричные многочлены по наборам переменных.

Определение. Пусть у нас есть два набора переменных:

x = (x1, x2,…, xn) и y = (y1, y2,…, ys).

Многочлен f = f(x1,…, xn, y1,…,ys) называется симметрическим по этим наборам, если он не меняется при любых переименованиям, как переменных x, так и y (то есть он симметричен по каждому набору отдельно).

Введем обозначения: φ1,…,φn – элементарные симметрические от переменных x, ψ1,…,ψs – элементарные симметрические от переменных y.

Теорема 2. Всякий многочлен f(x1,…, xn, y1,…,ys) симметричный по двум наборам переменных представим в виде многочлена от элементарных симметрических φ1,…,φn, ψ1,…,ψs.

Доказательство. Запишем f(x, y) в виде многочлена g(y); коэффициенты g – это многочлены hi(x) от набора x. Ясно, hi(x) - симметрические многочлены от x, а g – симметрический многочлен от y. Многочлен g по основной теореме представлен в виде многочлена от элементарных симметрических ψ1,…,ψs, причем его коэффициенты являются суммой многочленов hi(x), и значит, являются многочленами от элементарных симметрических φ1,…, φn. Тем самым, получено представление исходного многочлена через φ и ψ. ÿ

30. Формулы Виета. Вы знаете формулы Виета для квадратного многочлена. Оказывается аналогичные формулы справедливы для произвольного многочлена.

Возьмем для определенности кубический многочлен f = a0x3 + a1x2 + a2x + a3. Допустим, нам известны корни многочлена f; пусть это будут числа γ1, γ2, γ3. Тогда по теореме Безу верно равенство: f(x) = a0(x - γ1)(x - γ2)(x – γ3). Сравнивая коэффициента при одинаковых степенях x, получаем

a1 = - a0φ1(γ), φ1(γ) = - a1/a0,

a2 = a0φ2(γ), φ2(γ) = a2/a0,

a3 = - a0φ3(γ), φ3(γ) = - a3/a0.

Формулы для вычисления значений элементарных симметрических многочленов от корней данного многочлена называются формулами Виета. Для кубического многочлена они имеют вид φ1(γ) = - a1/a0, φ2(γ) = a2/a0, φ3(γ) = - a3/a0. Если коэффициенты многочлена a0x3 + a1x2 + a2x + a3 положительны, то в этих формулах знаки чередуются.

Тема 3.1. Числовые поля.

С первого класса вы изучаете различные числа, начиная с натуральных чисел и заканчивая действительными числами. Напомним основные классы чисел.

10. Основные числовые системы.

а) Натуральные числа – это числа, употребляемые для счета. Множество натуральных чисел обозначается через Ν, значит, Ν = {1, 2, 3, …}.

б) Целые число – это натуральные числа, нули и числа, противоположные натуральным. Множество целых чисел обозначается через Z, т.е. Z = {0, 1, -1, 2, -2, …}.

в) Рациональные числа – это отношения целых чисел, т.е. числа вида m/n, где mÎZ, nÎN. Каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической. Верно и обратное, каждая такая дробь является рациональным числом. Такое представление неоднозначно, например, 1,(9) = 2,(0) = 2. Множество рациональных чисел обозначается через Q.

г) Действительные числа – можно определить как бесконечные десятичные дроби. Множество действительных чисел обозначается через R. Каждое действительное число можно изобразить точкой на прямой (такая прямая называется числовой осью).

д) Иррациональные числа – это действительные числа, которые не являются рациональными. Для этого множества будем использовать букву I. Известно, что каждое иррациональное число однозначно представимо в виде бесконечной десятичной дроби.

Примеры: 0,010010001… (число нулей между соседними единицами неограниченно увеличивается).

е) Комплексные числа - обозначается множество комплексных чисел через C. Для вас это новое числовое множество, поэтому необходимы соответствующие определения.

20. Действия над комплексными числами. Комплексные числа можно определять как точки на координатной плоскости или пары действительных чисел. Сложение и умножение пар определяется правилами:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)×(c, d) = (ac - bd, ad + bc).

Сложение пар определено покоординатно, а умножение существенно более сложным образом (его смысл будет ясен чуть позже). Отметим, что вычитание и деление можно вводить обычным образом, как решения соответствующих уравнений: