Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

б) ½z - 1 - 2i½= 1; г) ½z + 1 - i½=.

27. Доказать, что для любых комплексных чисел справедливо равенство

½x + y½2 + ½x - y½2 = 2(½x½2 + ½y½2).

Объяснить его геометрический

смысл.

28. Доказать, что если ½z½< , то

а) ½(1 + i)z3 + iz ½< ; б) ½(2 + 3i)z5 + (1- i)z ½<.

Прежде чем приступать к решению следующих задач необходимо рассказать о произведении и частном комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме

29. Выполнить действия над комплексными числами:

а) (1 - i)(cosj - i sinj); б) ;

30. Найти модуль и наименьший положительный аргумент комплексного числа:

а) (i +)(1 - i)(1 + i); б) (1 - i)( - i).

31. Вывести формулу Муавра: (cosj + i sinj)n = cosnj + i sinnj.

Алгебраические числа

1. Доказать, что множество всех чисел указанного вида является полем

а) , б) a + bi, где a, b – рациональны, i – мнимая единица.

2. Среди чисел найти рациональные.

а) , б) , в) , г) .

3. Доказать иррациональность чисел:

4. Известно, что p - неалгебраическое число. Какие из чисел являются алгебраическими: а) p3 + p + 1, б) p + 1/p, в) p + 1/p + 1.

5. Можно ли построить с помощью циркуля и линейки треугольник равновеликий кругу радиуса 1?

6. Является ли число алгебраическим? Можно ли его построить с помощью циркуля и линейки?

Теорема Кантора

1. Как установить взаимно-однозначное соответствие между

а) замкнутыми отрезками разной длины;

б) окружностями разного радиуса;

в) кругом и областью ограниченной квадратом;

г) открытым отрезком и замкнутым отрезком;

д) отрезком и лучом;

е) отрезком и прямой;

ж) прямой и окружностью?

2. Как вы думаете где больше точек на прямой, на плоскости или в пространстве?

3. Докажите, что конечных последовательностей из 0 и 1 счетное множество?

4. Каким может быть подмножество счетного множества?

5. Докажите, что бесконечных последовательностей из 0 и 1 столько же сколько точек на отрезке.

6. Почему конечных последовательностей натуральных чисел счетное число?

7. Сколько можно расположить на плоскости непересекающихся букв «Г» одного размера; а букв «О»?

Методические рекомендации по организации изучения факультативного курса «Алгебраические числа»

Для разработки рекомендаций по организации работы сформулируем некоторые общие требования взаимосвязанного построения дополнительного образования и уроков по математике:

преемственность в содержании, методах и формах организации занятий по математике должна определяться целями обучения математики, всестороннего развития и воспитания учащихся.

взаимосвязанное построение уроков и факультативных занятий по математики не должно противоречить дидактическим принципам в обучении математики.

не должно быть противоречий психолого-педагогическими требованиями;

не должно быть несогласованности и с директивными нормами организации работы общеобразовательной школы.

главным критерием эффективности взаимосвязанного построения уроков, внеклассных занятий и дополнительного образования по математике должна быть в конечном счете результативность неразрывно связанных друг с другом процессов обучения, развития и воспитания школьников.

взаимосвязь уроков и дополнительного образования должна рассматриваться в такой последовательности: уроки математики – внеклассные занятия – дополнительное образование.

Перейдем к рассмотрению вопроса методического обеспечения факультативного курса «Алгебраические числа». Оперативные навыки, приобретаемые учащимися в процессе изучения темы, и использование этих навыков на протяжении всего дальнейшего обучения имеют безусловный приоритет по сравнению с логическими аспектами изложения теории, с уровнем строгости и общности определений, теорем и доказательств.

Такой подход к изучению темы связан с рядом обстоятельств. Прежде всего, теоретический уровень обучения математике не должен значительно отличаться от уровня общеобразовательных классов.

Нельзя не учитывать также и объективные возрастные особенности учащихся, их ограниченные возможности в усвоении абстрактных теоретических построений, и быть может, самое главное – еще не сложившуюся внутреннюю потребность в более высоком, чем раннее, уровне строгости – в строгой форме определений, в необходимости доказательств теоретических утверждений в обще виде, в теоретическом обосновании алгоритмов решения задач, ориентированных на практические применения.

Наконец, существенное значение имеют и общедидактические и методические соображения о значимости логики в курсе математики, о роли формальных доказательств в процессе обучения математики, о точности языка преподавания математики. Мы не будем детально вдаваться в эту исключительно деликатную тему и ограничимся лишь двумя замечаниями.

Во-первых, даже для профессионального математика некоторые доказательства «на примере», абсолютно неприемлемые с чисто логической точки зрения, могут быть настолько убедительными, что их логически необходимое формальное доказательство отличается от примера лишь общими обозначениями.

Такими являются, например, доказательства признаков делимости на 3 и на 9 в младших классах, правило перевода бесконечной периодической дроби в обыкновенную, основанное на домножение на степень числа 10.

В этих теоремах частные примеры настолько адекватно моделируют общее формальное доказательство, что в справедливости общих утверждений после таких доказательств, рассчитанных на младших школьников, не будет сомневаться и профессионал - математик. В тоже время доказательства в общем виде в данных случаях отличаются от примеров лишь громоздкостью обозначений и с дидактической точки зрения не дают ничего нового, кроме чисто формальной логической строгости.