Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

Это утверждение было доказано ранее при обсуждении простейших примеров алгебраических чисел.

20. Сумма алгебраических чисел является алгебраическим числом.

Пусть a и b - алгебраические числа; f и g - их минимальные многочлены;

a1 = a, a2, ., an - все корни многочлена f (числа сопряженные к a),

b1 = b, b2, ., bs - все числа сопряженные к b.

Рассмотрим многочлен height=43 src="images/referats/28547/image026.png">. Коэффициенты этого многочлена не меняются при произвольной перестановке чисел a1, ., a n, аналогично, они не меняются при произвольной перестановке чисел b1, ., bs, следовательно, они являются симметрическими многочленами над Q относительно указанных наборов переменных, но тогда по теореме Виета указанные числа рациональны. Итак, коэффициенты многочлена h(x) рациональны. Наконец, a + b - корень h(x).

30. Произведение алгебраических чисел является алгебраическим числом.

Достаточно повторить прежние рассуждения для многочлена . Тем самым, теорема доказана. ÿ

Определение. Поле L называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен над L разлагается на линейные множители.

По теореме Гаусса поле C является алгебраически замкнутым.

Теорема. Поле A является алгебраически замкнутым.

Иначе этот результат можно сформулировать так: всякий корень многочлена с алгебраическими коэффициентами сам является алгебраическим числом.

Доказательство. Пусть c - корень многочлена f(x) = x5 + ax4 +bx3 + gx2+ lx + m с алгебраическими коэффициентами a, b, g, l, m. Числа, сопряженные к коэффициентам исходного многочлена a, b, g, l, m., обозначим теми же буквами с соответствующими индексами, причем a1=a, b1=b, g1=g, l1=l, m1=m. Введем многочлены

fi,j,k,l,m(x) = x5 + aix4 + bjx3 + gkx2 + llx + mm

и рассмотрим их произведение F(x). Заметим, что коэффициенты многочлена F(x) являются симметрическими многочленами относительно каждого из наборов переменных

a1, a2, .; b1, b2, .; g1, g2, .; l1, l2, .; m1, m2,

Следовательно, по теореме Виета коэффициенты многочлена F(x) рациональные числа, а исходное число c - корень F(x), т.е. является алгебраическим. ÿ

Тема 3.3. Теорема Кантора.

Этот раздел посвящен ответу на вопрос: каких чисел больше алгебраических или трансцендентных? Сначала надо объяснить – что означает больше, если множества бесконечные? Конечные множества сравнивать легко, считая большим то множество, в котором больше элементов. Конечно, математики умеют пересчитывать элементы в любом бесконечном множестве, используя для этого так называемые кардинальные числа. Мы не будем даже пытаться излагать эту теорию, а ограничимся совсем простыми наблюдениями.

10. Счетные и несчетные множества.

Определение. Числовое множество называется счетным, если элементы этого множества можно пересчитать.

Следует подробнее остановится на идее «пересчета». Пересчитать элементы бесконечного множества – это значит установить взаимно-однозначное соответствие между данным множеством и множеством натуральных чисел, или записать элементы данного множества в последовательность, или присвоить каждому элементу множества какой-нибудь номер.

Определение. Если множество бесконечно и не является счетным, то оно называется несчетным.

Далее мы приведем примеры счетных и несчетных множеств, отметив пока, что рациональных чисел счетно, а действительных несчетно.

20. Примеры взаимно-однозначных соответствий.

Возьмем два отрезка равной длины. Соединим концы данных отрезков и увидим, что каждой точке одного отрезка соответствует точка другого:

Как установить взаимно однозначное соответствие между окружностью и квадратом. Для этого достаточно вписать окружность в квадрат и проводить прямые через центр окружности до пересечения с квадратом. Тогда каждой точке окружности будет соответствовать точка квадрата.

Легко установить счетность множества Z целых чисел. Для этого расположим все целые числа таким образом: 0,1, - 1, 2, - 2,… Видно, что мы представили их в виде числовой последовательности вида a1, a2, a3, a4,… Можно было сделать иначе, указав номер N(x) целого числа x: . Правда при этом не каждое натуральное число будет номером какого-нибудь целого числа, например, уравнение N(x) = 5 не имеет решений, значит, 5 не является номером никакого целого числа.

По существу очевиден следующий результат.

Теорема. Бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Из нее вытекает, что если каждому элементу множества удалось присвоить номер (при этом допустимо, что у некоторых элементов может оказать даже бесконечно много номеров), то это множество счетно.

С помощью этого замечания можно доказать, что рациональных чисел счетное число. Каждое рациональное число является отношением целых. Обозначим номер целого числа x через N(x), тогда можно присвоить номер рациональному числу x/y по формуле N(x/y) = 2N(x)3N(y). При этом каждому рациональному числу присваивается бесконечно много номеров ввиду неоднозначности представления рационального числа в виде дроби, однако разным рациональным числам присваиваются разные номера. При этом конечно есть натуральные числа (например, степени 5), которые не являются номером никакого рационального числа.

20. Свойства счетных множеств. Начнем со следующего простого факта.

Теорема. Пусть у нас есть счетные множества А, В, С. Тогда объединение этих множеств также счетно.

Доказательство. Так как все эти множества счетны, то они представимы в виде последовательностей: A: a1, a2, a3, …; B: b1, b2, b3, …; C: c1, c2, c3, … Объединение этих множеств содержит элементы каждого множества. Будем выписывать элементы объединения множеств, двигаясь по столбцам слева направо, а в каждом столбце сверху вниз: a1, b1, c1; a2, b2, c2; a3, b3, с3,…, т.е. объединение указанных множеств счетно. ÿ

Следующая теорема уже не столь очевидна.

Теорема 1. Счетное объединение счетных множеств счетно.

Доказательство. Запишем в виде таблицы элементы данных множеств, считая, что в первой строке занумерованы элементы первого множества и т.д. Рассмотрим систему расширяющихся квадратов Kn (n = 1, 2, …). Квадрат Kn находится на пересечении первых n строк и первых n столбцов таблицы. Теперь все элементы легко записать в виде последовательности. Сначала записываем элемент из первого квадрата, потом в любом порядке элементы второго квадрата (можно записанные ранее элементы не писать еще раз, а можно и писать), потом элементы третьего квадрата и т.д. ÿ