Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

применять формулы Виета.

Тема 2.1. Понятие симметрического многочлена.

Введение понятия симметрического многочлена. Элементарные симметрические многочлены. Утверждения о строении старших членов симметрических многочленов.

Тема 2.2. Основные теоремы о симметрических многочленах.

Основная теорема о симметрических многочленах. Представление симметрического многочлена в виде многочл

ена от элементарных симметрических. Метод неопределенных коэффициентов.

Тема 2.3. Некоторые применения основной теоремы.

Симметрическая дробь, ее свойства. Симметрические многочлены по наборам переменных. Формулы Виета.

Раздел 3. Алгебраические числа.

Ученик должен иметь представление:

о понятии замкнутости числового множества;

об основные числовые множества;

о понятии числового поля;

о понятии алгебраически замкнутого поля.

Ученик должен знать:

определение числового поля;

определение алгебраического числа;

определение минимального многочлена;

понятия счетного и несчетного множества;

формулировку теоремы о множестве алгебраических чисел;

формулировку теоремы о счетности алгебраических чисел;

диагональный процесс Кантора.

Ученик должен уметь:

выполнять действия над комплексными числами;

изображать комплексные числа на плоскости;

находить модуль и аргумент комплексного числа;

приводить примеры алгебраических чисел;

приводить примеры счетных и несчетных множеств;

доказывать счетность множества целых чисел;

устанавливать взаимно-однозначные соответствия между отрезками разной длины,

окружностями разного радиуса; окружностью и квадратом.

Тема 3.1. Числовые поля.

Множество натуральных чисел. Множество целых чисел. Множество рациональных чисел. Множество иррациональных чисел. Множество действительных чисел. Множество комплексных чисел. Числовые и нечисловые поля.

Тема 3.2. Алгебраические числа.

Понятие алгебраического числа. Степень алгебраического числа и свойства алгебраических чисел. Минимальный многочлен. Поле алгебраических чисел и его алгебраическая замкнутость.

Тема 3.2. Теорема Кантора.

Счетность и несчетность числовых множеств, примеры. Счетность множества алгебраических чисел. Диагональный процесс Кантора. Несчетность множества трансцендентных чисел.

Приведем теперь тематический план обсуждаемого факультатива.

Тематический план

Список упражнений и задач для контроля

Симметрические многочлены

1. Напишите несколько переименований для 5 переменных: x, y, z, p, q.

2. Допустим, что мы выполнили последовательно переименования (12) и (13). Тогда получилось новое переименование, которое назовем произведением и запишем в виде (12)(13). Найти произведения: (12)(13), (12)(123), (12)(123)(12).

3. Приведите пример симметрического многочлена от 3, 4, 5 переменных.

4. Проверьте симметричность многочленов относительно указанных переменных:

а) x3 + y3 + z3 - 3xyz, в) xy + zt + x3,

б) x3 + y3 + z3 + t2, г) x2 + y2 – xy.

5. Перечислите элементарные симметрические многочлены от x, y, z, t.

6. Восстановите многочлен, если известно его представление через элементарные симметрические многочлены:

а) f = φ13 - 3φ1φ2, в) f = φ14 - φ22 - φ1φ3,

б) f = φ13 - 4φ1φ2 + φ3, г) f = φ12φ2 - 3φ4.

7. Выразить многочлен через элементарные симметрические многочлены:

а) x3 + y3 + z3 - 3xyz, в) (x + y)(y + z)(z + x),

б) x2y + xy2 + x2z + zx2 + y2z + yz2, г) (x + y - z)(y + z - x)(z + x - y).

8. Расположите в убывающем порядке векторы показателей данной степени для старших членов, меньших данного набора: