Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

Между тем, одна из основных особенностей рассматриваемой темы, определяемая и ее содержанием и целью изучения, состоит именно в том, что большая часть основных результатов допускает дидактически допустимое обоснование с помощью примеров, адекватно отражающих сущность формального доказательства. Это позволяет практически всегда избегать громоздких обозначений и выкладок, существенно облегчая пог

ружение учащихся в рассматриваемый раздел.

Кроме того, теоретические обоснования некоторых алгоритмов, ориентированных на практическое применение, могут быть проведены сравнительно несложно, что предоставляет учителю богатые возможности для дифференцированного подхода к учащимся.

Во-вторых, недостатки овладения школьниками тем или иным конкретным математическим материалом, как правило, в меньшей степени связаны с логическим уровнем его изложения.

Еще раз подчеркнем, что выбор логического уровня изложения теории полностью отдается на усмотрение учителя.

С начальными понятиями теории многочленов от нескольких переменных: нормальный вид многочлена, сложение, вычитание, умножение многочленов, степень многочлена, - учащимся уже знакомы из курса алгебры.

Наша задача – доступно и легко изложить материал по теме «Алгебраические числа». Сразу следует отметить, что для изучения учащимся представлена не полная теория, а лишь основные блоки, которые позволяют практически оперировать и то, только те которые учащиеся 8 и 9 классов могут освоить. Поэтому доказательства, задачи, определения, утверждения доказываются для частных случаев или на примерах.

Раздел I. История возникновения и развития числовых понятий

Для изложения материала данного раздела мы предлагаем метод рассказа. Он предполагает устное повествовательное изложение содержания учебного материала.

Раздел 2. Симметрические многочлены.

Тема 2.1. Первичные понятие и простейшие свойства. В данной теме необходимо уделить внимание усвоению детьми определения симметрического многочлена и возможности формирования навыков переименования переменных. Для введения понятия переименования переменных мы предлагаем наглядно - иллюстративный метод: рассмотреть различные переименования для конкретного числа переменных. Аналогичным способом мы предлагаем рассматривать элементарные симметрические многочлены. Это позволит не только сформировать навыки по записи элементарных симметрических многочленов для конкретного числа переменных, но и понять закономерность процесса построения таких многочленов. В данной теме приводятся четыре утверждения, которые в последующем потребуются для доказательства более сложных теорем и свойств. Мы посчитали целесообразным доказать только два из них (утверждение 3, 4), так как доказательство этих фактов можно провести на конкретном примере и оно не является слишком абстрактным для понимания детей в 8-10 классах.

Тема 2.2. Основные теоремы о симметрических многочленах. В данной теме трудности могут возникнуть с пониманием алгоритма выражения симметрического многочлена через элементарные симметрические. Поэтому на данном занятии стоит сразу отработать данный алгоритм на решении задач аналогичных примеру рассмотренному в доказательстве теоремы.

Тема 2.3. Некоторые применения основной теоремы. Здесь рассматриваются симметрические дроби, симметрические многочлены по наборам переменных и формулы Виета. В рассмотрении данной темы необходимо акцентировать внимание на вывод формул Виета. Его необходимо провести на конкретном примере. После их вывода необходимо закрепить знания формул при решении задач. При рассмотрении понятия симметрической дроби можно предложить детям, интересную на наш взгляд, задачу о представлении симметрической дроби в виде отношения двух симметрических многочленов, которая позволит лучше понять основное свойство дроби и само понятие симметрической дроби. Теорема о строение симметрических многочленов необходима для доказательства теоремы о структуре множества алгебраических чисел.

Раздел 3. Алгебраические числа.

Тема 3.1. Числовые поля. Материал данного раздела рассматривается подробно в 8 классе, поэтому начальные этапы рассмотрения носят скорее обобщающий характер. А вот новое в данном вопросе – комплексные числа. При описании этого числового множества, мы предлагаем рассмотреть пары чисел на декартовой плоскости и действия над такими парами. Затем вводится мнимая единица i и приводится представление комплексного числа в алгебраической форме (знакомство с формулой Эйлера и теоремой Муавра на данном этапе почти невозможно по ряду очевидных причин, прежде всего, ввиду отсутствия достаточных знаний по тригонометрии). Здесь же предполагается знакомство с полярной системой координат и тригонометрической формой комплексного числа. Основное внимание следует уделить арифметическим действиям над комплексными числами, решению линейных и квадратных уравнений с действительными и комплексными коэффициентами. Мы умышленно предлагаем расширенный список задач на комплексные числа. В нем содержатся разнообразные задачи, связанные с геометрическим представлением комплексных чисел. При решении этих задач используются свойства прямоугольных треугольников и окружностей, т.е. наблюдаются определенные межпредметные связи. Следует обратить внимание на задачи, использующие понятие расстояния между точками на плоскости и его интерпретацию на языке комплексных чисел.

Нет сомнения в том, что задачи на комплексные числа способны вызвать живой интерес учащихся. С помощью задач можно организовать индивидуальную самостоятельную работу, а потом разобрать их решения на дополнительном занятии.

После рассмотрения числовых множеств для более наглядного понимания и для закрепления удобно привести графическую диаграмму, иллюстрирующую расположение основных числовых множеств. Учащиеся должны понять вложение числовых множеств одно в другое. Например, натуральные числа являются подмножеством целых чисел. Этот факт следует даже из определения целых чисел – это натуральные числа, противоположные к ним и нуль. Поэтому круг, изображающий множество натуральных чисел, находится внутри круга целых чисел. Аналогичные рассуждения можно провести и с другими множествами. Необходимо обратить внимание на расположение рациональных и иррациональных чисел. Они не являются подмножествами друг друга. Дети должны понять, что все действительные числа делятся на непересекающиеся множества рациональных и иррациональных чисел.

Тема 3.2. Алгебраические числа. Основная цель заключительных тем – демонстрация новых идей. Овладение техникой отходит на задний план, поскольку сама техника весьма нетривиальна. Новые красивые идеи, несомненно, способны вызвать интерес у школьников, интересующихся математикой, открыть перед ними ее красоту.

В данной теме могут возникнуть трудности с пониманием различных понятий: поле, алгебраически замкнутое поле, запись многочленов с большим числом переменных. Кроме того, при доказательстве теорем о поле алгебраических чисел используются формулы Виета и теорема о симметрических многочленах по наборам переменных – это достаточно тонкие рассуждения и вполне естественны трудности при понимании соответствующих рассуждений. Вполне допустимо, если эти теоремы будут приведены на минимальном уровне строгости, вполне допустимо ограничиться пониманием соответствующих формулировок и их применением при решении задач.