Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

Определение. Множество чисел М называется замкнутым относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел М, для которых определен результат данного действия, число, являющееся этим результатом, принадлежащим М.

Примеры. Множество натуральных чисел N замкнуто относительно сложения, т.е. результат сложения двух натуральных чисел является всегда числом натуральным. В отношении умножени

я множество N так же замкнуто. Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

Определение. Множество чисел k, содержащие не менее двух чисел, называется полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления (конечно, при условии, что знаменатель отличен от нуля).

Последнее означает, что для любых двух чисел из множества k результаты действий a + b, a - b, a × b, a: b также принадлежат множеству k.

20. Примеры полей. Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются:

поле рациональных чисел;

поле вещественных чисел;

поле комплексных чисел.

Что касается множества всех целых чисел, то оно не является кольцом, т.е. замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. Примерами нечисловых колец являются многочлены от одной или нескольких переменных, симметрические многочлены. Примером нечислового поля служит множество симметрических дробно - рациональных функций, т.е. отношения симметрических многочленов.

Существует бесконечно много числовых полей. Например, множество всех чисел вида , где a, b – рациональны, - является полем. Заменяя на другую квадратичную рациональность – корень квадратного трехчлена с рациональными коэффициентами, получим новые поля.

С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется рассмотрение чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат заданному полю.

30. Понятие алгебраического числа.

Определение. Комплексное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с рациональными (или целыми) коэффициентами.

Определение. Неалгебраическое число называется также трансцендентным.

Примерами трансцендентных чисел являются числа p (отношение длины окружности к ее диаметру) и e (основание натуральных логарифмов). Трансцендентных чисел больше, чем алгебраических, однако доказательство трансцендентности конкретного числа – трудная математическая задача.

40. Простейшие свойства алгебраических чисел.

Каждое рациональное число a является алгебраическим, так как оно является корнем многочлена x - a с рациональными коэффициентами.

Если a – положительное рациональное число, то являются алгебраическим, как корни многочленов x2 - a, x3 - a. Можно доказать, что корень n–ой степени из алгебраического числа является алгебраическим числом.

Сумма алгебраического числа γ и рационального числа a является алгебраическим числом.

Число, противоположное к алгебраическому, является алгебраическим. Действительно, если γ – корень многочлена c0xn + c1xn - 1 + … + cn, то - γ – корень многочлена c0xn - c1xn - 1 + … + (- 1)ncn (знаки многочлена чередуются).

Число, обратное к алгебраическому, является алгебраическим. Действительно, если γ – ненулевой корень многочлена c0xn + c1xn - 1 + … + cn, то γ - 1 – корень многочлена c0 + c1x + … + cnxn.

50. Степень алгебраического числа.

Определение. Число n называется степенью алгебраического числа γ, если γ - корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является γ.

Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратичная иррациональность представляет собой алгебраическое число второй степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого - либо линейного уравнения с целыми коэффициентами. Алгебраические числа степени 3 часто называют кубическими иррациональностями, а степени 4 – биквадратичными иррациональностями.

Пример. - алгебраическое число степени 3.

Действительно, это число есть корень уравнения третьей степени с целыми коэффициентами x3 – 2 = 0 и не является корнем никакого многочлена первой или второй степени с целыми коэффициентами. Последнее утверждение нуждается в более строгом обосновании. Для этой цели нам потребуется определение минимального многочлена алгебраического числа.

60. Минимальный многочлен алгебраического числа.

Определение. Пусть γ – алгебраическое число. Многочлен μ(x) с рациональными коэффициентами называется минимальным многочленом числа γ, если выполнены два условия:

- μ(x) неприводим, т.е. его нельзя представить в виде произведения многочленов положительной степени;

- μ(γ) = 0, т.е. γ – его корень.

Обычно, минимальным многочленом числа γ называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1, корнем которого является γ. Условие на старший коэффициент позволяет однозначно определить минимальный многочлен для каждого алгебраического числа.

Важнейшее свойство минимального многочлена числа γ – он является делителем любого многочлена, корнем которого служит число γ. Отсюда вытекает, что неприводимый многочлен, корнем которого является число γ, совпадает с минимальным. Учитывая, что многочлен x3 – 2 неприводим, получаем, что он минимальный для числа .

Отметим также, что степень алгебраического числа совпадает со степенью его минимального многочлена.

60. Поле алгебраических чисел.

Теорема. Множество A всех комплексных алгебраических чисел является полем, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел a и b (для частного b ¹ 0) являются алгебраическими числами.

Приведем доказательство этого факта по двум причинам. Во-первых, оно совершенно не очевидно. Даже в простом случае суммы нескольких квадратных корней достаточно трудно найти минимальный многочлен для их суммы. Пусть, например,

g = a + b, . Тогда , т.е. g является корнем многочлена (x2 - 5)2 – 24 = x4 - 10 x2 + 1. Это означает, что число g является алгебраическим.

Во-вторых, оно совершенно отличается от традиционных тривиальных доказательств алгебраических утверждений.

Доказательство разобьем на три пункта.

10. Если g - алгебраическое число, то числа - g, g - 1 также алгебраические.