Разработка факультативного курса "Алгебраические числа" для учащихся общеобразовательной школы

(2,2,0,0,0), (3,0,0,0), (3,1,0,0,0), (3,3,0,0), (2,2,2,0), (4,1,0,0).

9. Сколько существует элементарных симметрических многочленов от 3 и 4 переменных? Перечислите их.

10. Как записать симметрическую дробь f/g в виде дроби с несимметричным знаменателем?

11. Почему симметрическую дробь можно представить в виде отношения двух симметрических многочленов?

12. Найти значение симметр

ического многочлена S от корней многочлена f:

а) S = x12x22 + …, f = x2 - x – 1; б) S = x12x2x3 + …, f = 2x2 - 3x + 1.

13. Пусть x1, x2, x3 – корни уравнения

а) x3 - 3x + 1 = 0, в) x3 - 2x2 + 3x – 1 = 0,

б) x3 + 3x – 1 = 0, г) x3 + 3x2 - 2x – 1 = 0.

Составить уравнения, имеющие указанные корни:

1) а) x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1, б) x1 + x2 - x3, x2 + x3 - x1, x3 + x1 - x2,

2) а) 1/x1, 1/x2, 1/x3, б) 1/x1 + 1/x2, 1/x2 + 1/x3, 1/x3 + 1/x1,

3) а) x12, x22, x32, б) x1x2, x2x3, x3x1.

Комплексные числа

1. Вычислить:

а) (1 + 2i)(2 + 3i); б) (5 - 2i)(2 - 3i), в) (2 + 3i)(3 - 4i);

г) (1 + 2i)2, д) (1 + i)4, е) (1 + i)100.

2. Представить комплексное число в алгебраической форме:

а) ; б) ; в) ; г).

3. Упростить выражение, считая действительными числа a и b:

а) (2 + i)5 +(2 - i)5, б) (1 + 2i)5 +(1 - 2i)5;

в), г);

4. Какие действительные числа a и b удовлетворяют уравнению:

а) (1 + i)a + (2 + 3i)b = 1 + 2i; б) (1 - 2i)a + (4 - 3i)b = 6 - 7i ?

5. Найти комплексные числа, удовлетворяющие обоим уравнениям:

(3 - i)x + (4 + 2i)y = -1 + 3i, (4 + 2i)x - (2 + 3i)y = 7.

6. Найти комплексные корни квадратного уравнения:

а) z2 + (2 - i)z - 3(1 + i) = 0; г) z2 - 5z + 7 + i = 0;

б) z2 + (1 + i)z - 3(2 - i) = 0; д) z2 - (2 + i) z + (-1 + 7i) = 0;

в) z2 - 3z + 3 + i = 0; е) z2 - (3 - 2i) z + (5 - 5i) = 0.

Определение. Комплексное число a - bi называется комплексно сопряженным к числу a + bi; обозначение .

7. Доказать свойства комплексного сопряжения:

а) ; б) ; в) ; г) .

8. Проверить, что следующие числа являются комплексно сопряженными:

а) (2 + 5i)4(4 - 3i)8 и (2 - 5i)4(4 + 3i)8; б) и .

9. Используя комплексные числа, доказать тождество Эйлера:

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac - bd)2 + (ad + bc)2.

10. Пусть многочлен f с действительными коэффициентами имеет комплексный корень z. Доказать, что комплексно-сопряженное число также является корнем f.

11. Доказать, что

а) модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей; что можно утверждать о модуле частного и модуле разности двух комплексных чисел?

б) модуль суммы комплексных чисел не превосходит суммы модулей слагаемых;

12. Решить уравнение:

а) = a + bi; б) = a + bi.

13. Решить графически и аналитически уравнение:

а) z + ½z½= 1 - i; б) z + ½z + 1½= i.

14. Построить точки, изображающие комплексные числа:

а) 1 + i, б) 1, в) -1, г) i,

д) -i, е) -1 + 2i, ж) 2 - 3i, з) sina + icosa.

15. Найти тригонометрическую форму комплексного числа:

а) 1, б) -1, в) i, г) - i, д) 1 + i, е) -1 + i.

17. Доказать справедливость равенств:

а) , arg ;

б) , arg .

18. Вычислить:

, arg ;

19. Нарисовать множество точек, удовлетворяющих условиям:

а) ½z½= 1; б) ½z½£ 1; в) ½z½> 2; г) 1 £½z½£ 2;

д) arg z = ; е) arg z = ; ж) arg z = p; з) arg z = 0.

20. Доказать, что расстояние между точками z и t равно ½z - t½.

21. Изобразить множество точек z таких, что

а) ½z - i½= 1; б) ½z - i½£ 1; в) ½z - i½< 1; г) ½z - i½³ 1.

22. Какое множество точек z задается условиями:

а) ½z - 1½= ½z - i½; в) ½z + 1½=½z - i½=½z + i½;

б) ½z + i½=½z + 1 - i½; г) ½z - 1½=½z - 2i½=½z + 1 + i½.

23. Найти расстояние от точки z0 до множества M:

а) z0 = 2, M = {z½arg z = }; в) z0 = -1 + i, M = {z½arg z = p};

б) z0 = -2i, M = {z½arg z = }; г) z0 = 4 + 3i, M = {z½arg z = 0}.

24. Найти расстояние от точки 2 + 3i до множества M:

а) M = {z½arg z = }; в) M = {z½arg z = };

б) M = {z½arg z = }; г) M = {z½arg z = }.

25. Считая ½z½£ 1, найти указанное значение:

а) min ½1 + i - z½; в) min ½3 + 2i - z½;

б) max ½1 + i - z½; г) max ½3 + 2i - z½.

26. Найти расстояние между множествами точек:

а) M1 = {z½½z - i½£ 1}, M2 = {z½½z - 2 - 3i½£ 1};

б) M1 = {z½½z - 2i½£ 1}, M2 = {z½arg z = }.

27. Найти точку на окружности, имеющую наименьший положительный аргумент:

а) ½z - 3i½= 2; в) ½z - 2 - 3i½= 1;