Роль и место наглядности в обучении математике в средней школе

С целью концентрации внимания учащихся необходимо руководить их наблюдениями. Прежде чем демонстрировать наглядное пособие, нужно разъяснить цель и последовательность наблюдения, предупредить о каких-то побочных, несущественных явлениях.

Ориентировать учащихся на всестороннее восприятие предмета с помощью разных органов чувств.

А.Н. Колмогоров отмечает эвристическую роль наглядности: «В

основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: совсем наглядное геометрическое построение, какое-либо новое геометрическое неравенство и т.д.»

Под эвристическим методом понимается такая организованная учителем учебная деятельность, при которой вместо изложения учебного материала в готовом виде учитель подводит учащихся к «переоткрытию» теорем, их доказательств, к самостоятельному формулированию определений, к составлению задач. Далее, везде, где это, возможно, математики стремятся сделать изучаемые ими проблемы геометрически наглядными. В средней школе достаточно ясно показывается, на сколько полезны графики для изучения свойств функций. Поэтому … «геометрическое изображение, или, как говорят, «геометрическая интуиция», играет большую роль при исследовательской работе во всех разделах математики, даже самых отвлеченных». Наглядным примером, раскрывающим суть эвристического метода, может служить следующий фрагмент. В классе предстоит решить задачу: «Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине». Вместо неё предлагается задание: «Попытайтесь установить зависимость между длиной медианы, проведённой из вершины тупого угла треугольника, и длиной стороны, к которой она проведена». Обычно никто из учащихся эту зависимость не обнаруживает, так как они стараются выразить её формулой. Тогда предлагается то же задание, но для медианы, проведенной из вершины острого угла треугольника. Как только кто-либо из учащихся догадывается, что в первом случае длина медианы меньше половины длины стороны, а во втором – больше, наступает оживление. В классе возникает проблемная ситуация. Ставится вопрос: «А как будет в случае прямоугольного треугольника?» Учащиеся формулируют соответствующие задачи и решают их. Работа ускоряется, если учащимся предлагается проследить за указанной зависимостью при изменении угла на таком чертеже, как на рисунке 7.

Рис. 7

Наглядность и моделирование

Исследуя проблему наглядности, В.В. Давыдов приходит к следующему весьма важному выводу: «…там, где содержанием обучения выступают внешние свойства вещей, принцип наглядности себя оправдывает. Но там, где содержанием обучения становятся связи и отношения предметов, - там наглядность далеко не достаточна. Здесь… вступает в силу принцип моделирования» А так как в курсе математики основным содержанием являются разного рода отношения, то, следовательно, основным для этого курса является не принцип наглядности, а принцип моделирования.

Принцип моделирования не противопоставляется принципу наглядности – он лишь является его высшей ступенью, его развитием и обобщением, связанным с принципиальными изменениями в целях обучения и типах учебного процесса.

Рассмотрим понятие модели. Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что её изучение даёт новую информацию об этом объекте.

Все модели можно разделить на два типа: Материальные модели (геометрически подобные оригиналам) и Идеальные модели. Идеальные в свою очередь делятся на образные (рисунки, чертежи, схемы), знаковые (математические уравнения), мысленные (наши представления о каком-либо явлении).

Создание материальных и идеальных (образных и знаковых) моделей производится на основе предварительного создания мысленных моделей – наглядных образов моделируемых объектов. Те и другие связаны друг с другом. Идеальная (мысленная) модель может быть прототипом материальной модели, как её план, предваряющий создание некоторого образца. В свою очередь материальная модель может послужить основанием для переформирования идеального содержания и создания идеальной модели.

Модель не просто даёт нам возможность создать наглядный образ моделируемого объекта, а создаёт образ его наиболее существенных свойств, отражённых в модели. Все остальные свойства, не существенные в данном случае, отбрасываются.

Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-первых, моделирование служит тем содержанием, которое должно быть усвоено учащимися в результате обучения, тем методом познания, которым они должны овладеть, и, во-вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение.

Рассмотрим оба этих аспекта использования моделирования в обучении.

Метод моделирования в содержании обучения.

В недавнем прошлом в нашей школе господствовал объяснительно-созерцательный тип обучения, когда в основе учебного процесса «лежит воспроизводящая познавательная деятельность учащихся», которая и развивает «главным образом воспроизводящее мышление».

В современных условиях, когда объём необходимых для человека знаний резко и быстро возрастает, важно прививать умение самостоятельно пополнять свои знания, ориентироваться в стремительном потоке научной и политической информации.

Поэтому необходимо, чтобы учащиеся в процессе обучения овладели общими методами познания, общими способами учебной познавательной деятельности. А для этого нужно выделить, отделить эти методы и способы от тех понятий и явлений, для изучения которых они используются, и сделать их самостоятельным предметом изучения.

Как это можно сделать? Выход в том, чтобы дать учащимся модели этих методов и способов в виде наглядных и легко обозримых схем, графиков или в каком-то другом виде. Тогда непосредственным предметом изучения станут эти чувственно воспринимаемые модели, а через них – опосредствованно – и сами методы и способы.

Итак, моделирование в обучении необходимо для того, чтобы сделать возможным полноценное и прочное овладение учащимися методами познания и способами учебной познавательной деятельности.

В качестве примера такого использования моделирования может служить эвристическая схема умственного действия распознавания принадлежности объекта к указанному понятию (множеству).

Задача состоит в том, чтобы установить принадлежит ли заданный объект к указанному понятию (множеству) или нет. Например, надо узнать, является ли данный четырёхугольник параллелограммом или нет.

Для решения подобных задач можно вместе с учащимися составить эвристическую схему распознавания:

Выбрать удобное определение понятия или какое-нибудь общее необходимое и достаточное условие.

Проанализировать выбранное определение (условие) и выделить в нём все признаки понятия.

Установить, какими логическими цепочками связаны между собой эти признаки.

Если все цепочки типа «и», то надо проверить последовательно выполнение для данного объекта всех признаков, и если хотя бы один признак не выполняется, то объект не принадлежит к указанному понятию; если же все признаки выполняются, то он принадлежит к этому понятию.