Теория управления. Принципы системного анализа

Первым шагом при записи аналитического выражения, аппроксимирующего требуемую зависимость, является нанесение экспериментальных точек на график в прямоугольной системе координат, В результате будет получена диаграмма разброса (рис. 2), из которой часто удается визуально найти плавную кривую и определить соответствующую ей функциональную зависимость. Точки, изображенные на рис. 3.6, а, группирую

тся около прямой, а точки, показанные на схеме б, соответствуют кривой. Описание точек схемы в зависит от задач эксперимента: это может быть прямая линия или некоторая периодическая функция. При построении диаграммы разброса нужно иметь в виду постоянно возникающую трудность графического изображения соотношений, связывающих большое число переменных. Частично эту трудность можно преодолеть, построив несколько графиков, каждый из которых отражает зависимость функции отклика от одной переменной при фиксированных значениях всех остальных.

Рис. 2.Диаграммы разброса

Задачу подбора вида функции, наилучшим образом соответствующей конфигурации кривой, называют подгонкой кривых по точкам. Для этой цели используют графические изображения наиболее характерных функций, некоторые из которых показаны на рис. 3.

ри подгонке кривых по точкам прежде всего следует определить количественный принцип соответствия теоретической функции экспериментальным точкам. В качестве меры такого соответствия было бы логичным принять минимальные отклонения по всем точкам, т. е. суммы всех отклонений. Но поскольку отклонения теоретических значений от экспериментальных могут быть положительными и отрицательными, то с математической точки зрения проще предварительно возвести эти отклонения в квадрат и обеспечить минимум для суммы квадратов отклонений. Этот метод, названный методом наименьших квадратов, соответствует критерию наилучшего приближения.

а)

б)

в)

Рис. 3. Различные виды регрессионных кривых

Для поиска математических зависимостей между переменными по накопленным экспериментальным данным обычно используют методы регрессионного и корреляционного анализов. Регрессионный анализ дает возможность построить по экспериментальным данным уравнение, а корреляционный анализ позволяет судить, насколько хорошо экспериментальные точки согласуются с выбранным уравнением, а также насколько тесна связь между двумя и более величинами, наблюдаемыми ификсируемыми при моделировании.

Регрессионный анализ. Математический метод, обеспечивающий такую подгонку выбранной кривой, при которой экспериментальные точки описывают ее наилучшим образом в смысле критерия наименьших квадратов, называют регрессионным анализом.

Корреляционный анализ.Наилучшее приближение теоретической кривой к экспериментальным данным еще не означает, что реально существующая физическая зависимость соответствует именно этой кривой. Наглядный этому пример дает рис. 3, в. Описание экспериментальных точек прямой линией вполне соответствует методу наименьших квадратов, но не соответствует физической сущности явления, если мы не постулируем приближенное представление последнего в линейной постановке.

Для оценки согласованности экспериментальных точек с теоретическими прогнозами используют понятие корреляции. Если регрессия определяет эту согласованность по форме, то корреляция показывает, насколько точно она отражает действительность. Вместе с тем корреляция между переменными означает лишь то, что их изменения взаимосвязаны, однако это еще не доказывает наличие причинно-следственной связи между переменными.

Мерой корреляционной связи между переменными X a Y служит коэффициент корреляции rху, представляющий собой отношение корреляционного момента (математического ожидания произведения отклонений X и Y) к произведению средних квадратических отклонений этих величин

Для случая простой линейной регрессионной задачи (т.е. для случая, когда имеются одна зависимая и одна независимая переменные, связанные между собой линейно) коэффициент корреляции вычисляют по формуле

(2)

Коэффициент корреляции лежит в пределах от -1 до +1. Коэффициент корреляции, равный нулю, соответствует полному отсутствию корреляции (рис. 4, а). При наличии слабой (схема б) или сильной (схема в) положительной корреляции коэффициент корреляции соответственно равен +1 или близок к нему. Если этот коэффициент равен - 1, то имеет место сильная отрицательная корреляция (схема г).

Рис. 4. Виды корреляции

Литература:

1. Ильина Н.В. Системный анализ и моделирование процессов в техносфере: Учеб. пособие / Н.В. Ильина, Д.Д. Лапшин, В.И. Федянин. – Ч. 1. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет, 2008. – 206 с.

Лекция 12. Методы получения регрессионных уравнений

12.1 Полный факторный эксперимент

Изложение основ факторного планирования эксперимента начнем с простейшего примера.

Пусть имеется две входные переменные Х1 и Х2, одна из которых в интересующей нас области, заштрихованной на рис. 1, а, изменяется в пределах 0,4X10,8, а другая — в пределах 10X230. В процессе проведения эксперимента найдены значения ординат поверхности отклика в граничных точках (рис. 1, а), приведенные в табл. 1.

Рис. 1.Полный факторный эксперимент

Поставим задачу поиска аналитического выражения функции отклика в линейной постановке, т.е. дадим приближенное представление этой функции в виде:

(1)

Таблица 1

Для формализации процедур обработки экспериментальных данных факторы удобно представлять в закодированном виде. С этой целью выберем новую систему координат x1 х2 у (рис. 1, а, 6), начало которой совместим с центром интересующей нас области, и назначим масштабы по осям факторов так, чтобы нижний уровень фактора соответствовал - 1, а верхний +1. Это легко достигается с помощью преобразований вида

 Скачать реферат