Теория управления. Принципы системного анализа

Решение. Запишем уравнение регрессии для линейной поверхности отклика

(13)

Коэффициенты bi будем определять по формуле (3.4) в соответствии с приемами, указанными в пояснениях к этой формуле.

Вначале определим коэффициенты регрессии, используя данные полного факторного эксперимента (левую часть табл. 5). Бу

дем иметь:

(14)

Построим дробные реплики, для чего заполним правую часть табл. 5 (столбцы 7 .10) и выберем строки, у которых 10-й столбец имеет одинаковые знаки. В результате получим две полуреплики (таблица 6):

Таблица 6

Определим коэффициенты регрессии по дробным репликам.

Для первой полуреплики будем иметь:

b0 = (16 - 4 + 8 + 12) / 4 = 8;

b1 = (16 + 4 - 8 - 12) / 4 = 6;

b2 = (-1б - 4 - 8 + 12) / 4=-4;

b3 = (-16 + 4 + 8 + 12) / 4 = 2.

Для второй полуреплики будем иметь

b0=(4 + 8 + 20 + 0) / 4=8;

bl=(-4+8+20-0)/4=6;

b2 =(-4+8-20+0)/4=-4;

b3 = (-4-8 + 20)/4=2.

Как и следовало ожидать, во всех трех случаях для линейной поверхности отклика получены одинаковые результаты.

На рис. 2 приведена схема полного трехфакторного эксперимента и его полуреплик. Цифрами отмечены номера опытов с указанием в скобках координат факторов x1, x2,x3. Точки 2, 3, 5, 8 соответствуют первой полуреплике, а цифры I, 4, 6, 7 – второй. Обратите внимание, что каждая из полуреплик наиболее полно охватывает опытные точки факторного пространства.

Рис. 2.Схема трехфакторного эксперимента

При большом числе факторов т для оценивания параметров линейной функции регрессии (1) можно строить дробные реплики высокой степени дробности. Так, при т=7 можно построить дробную реплику из полного факторного плана 23 для первых трех факторов, приравняв четыре остававшихся фактора к двухфакторным и трехфакторному взаимодействиям трех других факторов, положив, например

(15)

Такую реплику записывают как 27-4.

В общем случае дробную реплику обозначают через 2т-p, если р факторов приравнены к произведениям остальных т—p факторов, уровни которых выбраны согласно полному факторному плану. Дробную реплику 2т-p можно строить различными способами. Для анализа системы смешивания коэффициентов пользуются понятиями генерирующих и определяющих соотношений.

Генерирующими называют соотношения, с помощью которых построена дробная реплика. Так, для реплики, представленной в табл. 5, генерирующим является соотношение х3=x1х2, а это указывает, что фактор х3 занимает в матрице столбец, соответствующий взаимодействию x1x2. Для указанной выше реплики 27-4 генерирующим является соотношение (15).

Определяющим соотношением (определяющим контрастом) называют равенство, в левой части которого стоит единица, а в правой — какое-либо произведение факторов. Для дробной реплики 2т-p можно получить p различных определяющих соотношений из генерирующих путем умножения обеих частей последних на их левые части с последующей заменой (хi)2 на 1 (i=1, , т). Другие определяющие соотношения получаются путем перемножения ранее полученных и выделения среди них новых. Например, для реплики (табл. 5) определяющим является соотношение (12).

Построим определяющие соотношения для реплики 27-4, задаваемой генерирующими соотношениями (15). Умножая обе части равенств (15) на их левые части, получаем четыре определяющих соотношения:

(16)

Попарное перемножение этих четырех соотношений дает шесть новых:

(17)

Перемножение каждой тройки из четырех соотношений (16) Дает еще три определяющих соотношения:

(18)

Наконец, перемножая все четыре соотношения (16), получаем

(19)

Легко понять, что кроме (16) – (19), других определяющих соотношений для рассмотренной реплики 2+7-4 нет.

Знание определяющих соотношений позволяет найти всю систему совместных оценок без изучения матрицы планирования дробной реплики. Для того чтобы определить, с какими взаимодействиями смешано данное, нужно на него умножить обе части всех определяющих соотношений.

Определим, например, с какими взаимодействиями смешан главный эффект b3 в дробной реплике 27-4, определяемой генерирующими соотношениями (15). Для этого умножим все определяющие соотношения (16) – (19) на х3. Получим

Следовательно, главный эффект b3 смешан с эффектами взаимодействий первого порядка с эффектами взаимодействий второго порядка третьего порядка четвертого порядка и пятого порядка

 Скачать реферат