Теория управления. Принципы системного анализа

а)

б)

Рис. 9. Построение области Парето

Например, Андрей лучше всех решает задачи, а по остальным критериям не выделяется. Зато Вера, Галя, Ира, Катя, Лариса имеют высокие значения остальных критериев, так что они в среднем превосходят

Андрея, причем Вера лучше всех по успеваемости, а по остальным критериям не хуже других студенток. Тогда Андрей обзятельно попадает в множество Парето, т.к. он уникальный (единственный) по первому критерию, а от группы студенток в множество Парето попадает один представитель – Вера, хотя остальные студентки превосходят Андрея по нескольким критериям (число критериев здесь не имеет значения).

Таким образом, поиск оптимального решения (точки) может осуществляться в соответствии с рисунком 10.

Рис. 10. Выбор оптимальной точки

18.4 Технологии отыскания эффективных решений

Суждения об относительной важности частных критериев ЛПР может выразить как в качественной, так и в количественной шкале. Если частные критерии измеряются в различных, а тем более разных по классам шкалах (количественных и качественных), их оценки не могут быть пересчитаны в некоторую объективную шкалу оценивания (например, в универсальный денежный эквивалент), то трудно представить, как соизмерить их относительную важность. А сделать это иногда требуется как можно быстрее и как можно адекватнее, чтобы можно было сразу представить себе ценность какой-то конкретной альтернативы. В подобных ситуациях, когда информацию об относительной важности требуется получить и использовать как можно быстрее и при этом обеспечить высокую адекватность и надежность суждений, более предпочтительным представляется учет относительной важности частных критериев в качественной шкале (так называемая «качественная информация об относительной важности»). К качественной информации об относительной важности частных критериев будем относить следующие вербальные суждения:

«критерий с номером i важнее критерия с номером j»;

«критерии с номерами s и t равноценны по важности».

Напрямую использовать информацию о превосходстве или равноценности для дальнейшего сокращения размера множества эффективных альтернатив и поиска наилучшего решения среди них можно только для некоторых частных случаев. Во-первых, это случай, когда шкалы всех частных критериев, относительно которых получена информация.

Второй частной ситуацией, когда возможно прямое использование качественной информации о равноценности или превосходстве в важности одних частных критериев над другими, является такая, в рамках которой фигурируют сообщения о равноценности всех критериев между собой, об абсолютно строгом (лексикографическом) упорядочении критериев по важности, а также о симметрически-лексикографическом упорядочении частных критериев по важности.

Самая сложная в получении, но и самая действенная – это информация об относительной важности критериев в количественной форме. Это информация о величинах замещений значений критериев между собой, о значениях коэффициентов важности частных критериев, количественная информация о допустимой степени взаимной компенсации значений тех или иных критериев, а также о виде функции агрегирования частных критериев в обобщенные критерии. В некоторых случаях такая информация поступает от ЛПР сразу. Но это – скорее исключение из правил. Значительно чаще количественную информацию приходится получать по частям.

18.5 Методы принятия решения при нескольких критериях

При необходимости ПР при многих критериях на практике обычно используют следующие подходы.

1. Свертка векторного критерия

Этот метод также называют скаляризацией векторного критерия или введением суперкритерия. Суть его заключается в следующем.

Выбираются коэффициенты βk ≥ 0 так, что функция

обобщила в себе" все требования частных критериев. При этом обычно

и каждый βk характеризует степень важности критерия fk(X).

На практике обычно ЛПР выбирает какие-то β1, …, βr, затем отыскивает наилучшую точку Х' – например, минимум S(X') при . Если при этом оказывается, что некоторые из значений ЛПР не удовлетворяют, тогда он корректирует значения β1, …, βr и решает задачу заново и т.д.

Рассмотренный подход также называют аддитивной сверткой. Он имеет существенный недостаток – трудно находить коэффициенты βk из-за разных размерностей критериев.

Этого недостатка лишена свертка вида:

или ,

где – идеальное (реально недостижимое) значение k-го критерия, которое указывается ЛПР; – наименее предпочтительное для ЛПР значение k -го критерия; μk , ρk – весовые коэффициенты с тем же смыслом, что и βk. В двух последних свертках каждый k-й критерий выступает своим нормализованным значением , которое изменяется в пределах от 0 до 1. Данный подход снимает проблемы, обусловленные неодинаковыми размерностями входящих в свертку критериев.

Однако существуют и другие вопросы. В частности, можно показать, что выбор вида свертки влияет на конечный результат.

Для иллюстрации данного утверждения рассмотрим случай двух критериев Ф1 и Ф2 и предположим, что они оба получили одинаковые "веса": μ1 = μ2 =0,5 и ρ1 = ρ2 =0,5 . Пусть допустимая область в пространстве критериев имеет вид, представленный на рис. 11 а.

а) б)

Рис. 11 . Иллюстрация влияния вида свертки на конечный результат: а – допустимая область; б – линии равного уровня для критерия S1 (прямые) и S2 (окружности)

Для интегрального критерия типа S1 линии равного уровня представляют собой прямые, задаваемые уравнениями:

На рис. 11 б они показаны в виде линий АВ и A'B'. Для интегрального критерия типа S2 линии равного уровня – окружности с центром в точке , которые описываются уравнением вида:

 Скачать реферат