Теория управления. Принципы системного анализа

Выполняя дифференцирование равенства (17) с учетом обозначений (18), запишем зависимости Коши в матричной форме:

(20)

или

. (20 а)

Для перехода от деформаций тела к напряжениям используем закон Гука при плоском напряженном состоянии

:

(21)

или

. (21 а)

Матрицы D и В содержат всю информацию о конечном элементе: матрица D определяет его упругие характеристики а матрица В – геометрические. Остается определить еще одну матрицу (матрицу жесткости К), которая связывает усилия, действующие в узлах конечного элемента, с перемещениями этих узлов. Для записи этой матрицы воспользуемся принципом возможных перемещений, согласно которому при равновесии тела работа внешних сил Р на возможных перемещениях узлов т. е. равна по величине работе внутренних сил на тех же перемещениях: , где – деформация, отвечающая возможным перемещениям; – объем конечного элемента. В результате преобразований получим искомую связь между усилиями в узлах конечного элемента и перемещениями этих узлов:

, (22)

где матрица жесткости К будет равна

(23)

Матрица жесткости (23) конечного элемента не зависит от действующих на элемент нагрузок и поэтому остается неизменной для всех нагружений. Элементы этой матрицы представляют собой коэффициенты канонических уравнений метода перемещений для расчета одного конечного элемента.

Рассмотрим объединение конечных элементов в ансамбль на примере простейшей сети из трех конечных элементов (рис. 5).

Для каждого конечного элемента мы можем записать формулу (17), заменяя узлы конкретными номерами. Так, для первого элемента

.

Поступая аналогично с остальными узлами, получим:

(24)

Рис.5.Ансамбль трех конечных элементов

Напомним, что узловые значения искомой функции

пока еще не известны и подлежат определению. С этой целью нужно использовать какой-нибудь принцип, выражающий физическую сущность задачи. В задачах строительной механики таким принципом могут быть уравнения равновесия с учетом совместности перемещений. Когда мы все это проделаем, задача будет решенной, поскольку формулы (20), (21), (24) с учетом обозначений (18), (19) позволяют определить в любой точке области нормальные и касательные напряжения, найти угловые и линейные деформации, вычислить перемещения данной точки в направлении осей х и у. Совокупность указанных формул, полностью определяющих поведение исследуемой системы, составляет ее математическую модель.

Перейдем к объединению конечных элементов в ансамбль.

Пусть в узлах системы конечных элементов действуют внешние силы, определяемые вектором

(25)

К каждому i-му узлу сети примыкает в общем случае конечных элементов, каждый из которых вносит свой вклад в матрицу жесткости. Поэтому для каждого i-го узла суммарная матрица жесткости будет представлять собой сумму элементов матриц жесткости всех примыкающих к узлу элементов, т.е.

, (26)

в то время, как узловые перемещения для всех этих элементов будут общими в силу совместности перемещений всех элементов, соединенных в i-м узле. Поскольку узлы имеют две степени свободы, вектор перемещения i-го узла будет содержать две компоненты перемещений точно так же, как внешняя сила [см. формулу (25)] имеет две компоненты Pxi, Pyi. Совокупность перемещений всех m неопорных узлов сети конечных элементов определится m-мерным вектором перемещений:

(27)

Общую матрицу жесткости для всей конструкции можно выразить в виде

. (28)

Окончательная зависимость между вектором сил (25) и вектором перемещений (27) будет иметь вид

. (29)

Таким образом, вектор узловых значений искомой функции будет равен

. (30)

Литература:

1. Ильина Н.В. Системный анализ и моделирование процессов в техносфере: Учеб. пособие / Н.В. Ильина, Д.Д. Лапшин, В.И. Федянин. – Ч. 1. Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет, 2008. – 206 с.

Лекция 16. Аналитические модели сложных систем

16.1 Основные понятия

Математическое моделирование позволяет устанавливать зависимости выходных (y1, у2, ., уn) переменных от входных переменных (x1, x2 , ., хn) при целенаправленном изменении внутренних параметров (h1, h2, ., hn) с учетом в ряде случаев воздействия внешней среды. Наиболее просто эта задача решается, если известна функциональная зависимость между соответствующими многомерными векторами:

(1)

В таком виде математическую модель удается получить только для очень простых ситуаций. В обычных условиях математическое описание процессов в исследуемом объекте задают в форме системы дифференциальных уравнений. Понятно, что ЭВМ не может непосредственно оперировать даже с простейшими зависимостями типа (1), поэтому построение математических моделей подразумевает комплекс преобразований этих зависимостей до уровня, допускающего численное решение, и последующую реализацию такого решения на основе программ анализа в виде элементарных арифметических и логических операций.

В простейших ситуациях исходная задача может быть представлена системой линейных алгебраических уравнений, которая легко сводится к последовательности элементарных операций (ПЭО) на основе стандартных процедур с использованием библиотечных программ. Если модель задана системой нелинейных алгебраических уравнений, то возможны либо непосредственный переход к ПЭО, либо предварительная линеаризация с дальнейшим переходом к ПЭО (рис. 1).

 Скачать реферат