Теория управления. Принципы системного анализа

Рис. 1.Преобразования уравнений при построении аналитических моделей

Наиболее типичными являются модели, в которых исследуемый процесс описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями или дифференциальными уравнениями в частных производных. Численные решения таких уравнений основаны на дискретизации перем

енных или алгебраизации задачи. Дискретизация заключается в замене непрерывных переменных конечным множеством их значений в заданных для исследования интервалах, а алгебраизация – в замене производных алгебраическими соотношениями, Если дифференциальные уравнения в частных производных описывают статическое состояние, то дискретизация и алгебраизация преобразуют дифференциальные уравнения в систему алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных. Так, если рассматриваются переменные, изменяющиеся в пространстве и во времени, то при решении задачи на первом этапе устраняются производные по пространственным координатам, что позволяет перейти к обыкновенным дифференциальным уравнениям, а затем – производные по времени с переходом к алгебраическим уравнениям. Дальнейшее решение задачи может выполняться на основе метода простых итераций, либо быть сведено к предварительной линеаризации на основе метода Ньютона с переходом к линейным алгебраическим уравнениям. Решение системы таких уравнений выполняется с помощью прямых методов, например, метода Гаусса.

Ниже рассмотрена цепочка последовательных преобразований, которая позволяет однотипными приемами решать различные задачи. За базовое принято численное решение дифференциальных уравнений первого порядка с заданными начальными условиями (задача Коши) и системы таких уравнений. К подобным уравнениям может быть приведено обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка. Дифференциальное уравнение с заданными граничными условиями может быть представлено как редукция к задаче Коши и тем самым решено аналогичными способами.

16.2 Приближенное решение ОДУ при заданных начальных условиях

Математическое моделирование систем, описываемых обыкновенным дифференциальным уравнением при заданных начальных условиях, осуществляется наиболее просто, если уравнение в явном виде разрешено относительно производной:

От влияния внутренних параметров h и воздействий внешней среды v можно избавиться, повторяя решение заданного уравнения при фиксированных значениях этих параметров h=const, v=const.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

(2)

Если требуется найти интегральную кривую у=у (х), проходящую через заданную точку М0 (х0, у0), то формулируется задача Коши: найти решение у=у(х) уравнения, удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0.

Существуют различные приемы решений такой задачи: метод последовательных приближений, интегрирование уравнений с помощью степенных рядов, методы Адамса, Крылова, Милна и др. Ниже рассмотрены методы Эйлера и Рунге-Кутта, первый из которых является наиболее наглядным, а второй – наиболее популярным.

16.3 Метод Эйлера и его модификации

Принцип численного решения уравнения (2) при начальном условии у(х0)=у0, основанный на методе Эйлера, чрезвычайно прост. Он непосредственно вытекает из смысла производной. Подставляя заданное начальное значение х0 и у0 в правую часть Исходного уравнения (2), мы определим производную в этой точке: y'(х=х0)=f(х0, у0), т. е. найдем тангенс угла наклона касательной к искомой кривой. Это дает возможность определить приближенное значение функции в соседней точке при x1 =x0 + h (рис. 2). При этом приращение функции будет , а полное значение ординаты при этом составит . Таким образом, получены приближенные координаты соседней точки x1, y1, принимая которые за исходные, мы можем повторить вычисления методом Эйлера и найти следующую точку с координатами х2, у2. Аналогично вычисляются все последующие точки по формулам

(3)

где h – достаточно малый шаг приращений координаты х.

Рис. 2.К решению уравнения методом Эйлера

Для того чтобы назначить величину шага, обеспечивающую необходимую точность вычислений, расчет повторяют при шаге, в два раза меньшем первоначального. Если разница в результатах вычислений превышает требуемую точность, то шаг разбиения уменьшают еще раз и повторяют расчет.

Метод Эйлера приводит к систематическому накоплению ошибок, поэтому в практике расчетов используют модификации этого метода: метод ломаных и метод Эйлера-Коши.

В первом случае сначала вычисляют промежуточные значения

и находят направление поля интегральных кривых в средней точке

, а затем полагают .

Во втором случае грубое приближение

, уточняется следующим образом:

Дальнейшим развитием и уточнением метода Эйлера являются различные схемы метода Рунге-Кутта. Ниже рассмотрена одна из таких схем, получившая наибольшее распространение.

16.4 Метод Рунге-Кутта

Основная схема метода Рунге-Кутта имеет вид:

(4)

где

(5)

(i = 1, 2,…, n).

Для определения правильности выбора шага h выполняют двойной пересчет, как это было отмечено при рассмотрении метода Эйлера.

16.5 Приближенное решение ДУ n-го порядка при заданных начальных условиях

Для дифференциального уравнения n-го порядка

(6)

задача Коши состоит в нахождении решения

удовлетворяющего начальным условиям

; ; …;

 Скачать реферат