Теория управления. Принципы системного анализа

(2)

где xi – кодированное значение i-ro фактора;

Хi – натуральное значение фактора;

Хо – нулевой уровень;

– интервал варьирования фактора.

Для фактора Х1 нулевой уровень и интервал варьирования будут равны

X10=(0,4+0,8)/2=0,6

; X1 = (0,8-0,4)/2=0,2. Для фактора Х2 имеем: X20=(10 + 30)/2=20; X2 = (30-10)/2=10.

Кодированные значения факторов приведены в табл. 3.2.

В первом и пятом столбцах этой таблицы повторены значения табл. 1. Во втором столбце приведены значения фиктивной переменной x0, характеризующей свободный член bо в уравнении регрессии (1). Значения x0 всегда принимают равными +1. В 3 и 4 столбцах записаны искомые кодированные переменные; так, для фактора Х1 в первой точке кодированное значение будет x11=(0,4 - 0,6)/0,2= - 1. Подобные таблицы называют матрицами планирования полного факторного эксперимента.

Таблица 2

Все дальнейшие вычисления полностью формализованы. Коэффициенты регрессии уравнения (3.2) определяют по формуле

(3)

где xin – значение xi, в n-ом опыте;

N – число опытов;

уп – значение отклика в n-ом опыте.

Для вычисления коэффициентов регрессии по табличным данным достаточно перемножить данные столбцов у и соответствующих xi,сложить результаты и поделить их на число опытов.

Так, по данным табл. 2 будем иметь

Искомое линейное уравнение поверхности отклика в закодированных переменных будет:

В натуральной (не кодированной) форме это уравнение имеет вид:

(4)

Рассмотренный в примере план эксперимента соответствует двум факторам для линейной функции. Если поверхность отклика нелинейна, а вы пытаетесь представить ее приближенное выражение, то в уравнении регрессии (1) следует добавить член b12x1x2, учитывающий взаимодействие факторов х1 и х2. В нашем случае линейной исходной поверхности отклика этот член будет равен нулю, в чем нетрудно убедиться, добавив 6-й столбец, элементы которого равны произведениям элементов 3-го и 4-го столбцов.

В общем случае много факторного эксперимента уравнение регрессии имеет вид:

(5)

Параметр b0 называют общим средним, параметры bi – главными эффектами (взаимодействиями нулевого порядка), параметры bij – эффектами взаимодействия первого порядка (эффектами двухфакторных взаимодействий), параметры bijk – эффектами взаимодействий второго порядка (эффектами трехфакторных взаимодействий) и аналогично b123 .n – эффектами взаимодействия порядка п-1 (эффектами n-факторных взаимодействий).

Наиболее часто используют два частных случая функции регрессии: линейную

(6)

и неполную квадратичную

(7)

Техника эксперимента с варьированием к факторов на двух уровнях сводится к проведению 2k опытов. Для построения матрицы планирования эксперимента при любом к следует дважды повторить матрицу планирования для случая к-1: один раз для нижнего уровня k-го фактора, а другой раз — для верхнего. Последовательность достраивания матриц планирования при увеличении к от двух до пяти показана в табл. 3. Первые четыре (отчеркнутые) опыта соответствуют двухфакторному эксперименту типа 22, повторяя табл. 2. Восьмифакторный план типа 23 дважды повторяет двухфакторный эксперимент при варьировании третьего фактора сначала на нижнем, а затем на верхнем уровнях. Аналогично строят планы полных факторных экспериментов при других значениях k.

Таблица 3

 Скачать реферат