Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

Замечание. Любое выражение вида можно представить в виде :

= .

Т.к.

,

то точка с координатами лежит на единичной окружности, поэтому существует такое , что и . Обозначим .

Получаем

=

В нашем случае имеем:

≤ 5.

Таким образом исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда наименьшее значение левой части первого неравенства системы совпадает с наибольшим значением его правой части :

=5, откуда и .

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 3. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 1 и 2

Цели: повторить в ходе решения некоторых задач из домашнего задания изученный материал; проверить усвоение учащимися метода оценок.

В начале занятия предлагается разобрать задачи 4,5,6 из домашнего задания и несколько задач на темы занятий 1 и 2 ( на усмотрение учителя). Во второй половине занятия дать проверочную работу. (Решения задач и варианты проверочной работы даны в Приложении)

Занятие 4. Векторно-координатный метод: доказательство неравенств и решение задач на наибольшее и наименьшее значение

Цели: познакомить с применением векторно-координатного метода к доказательству неравенств и решению задач на наибольшее и наименьшее значение; тренировать учащихся в решении задач по данной теме.

В начале занятия рекомендуется провести анализ проверочной работы предыдущего занятия. В школьном курсе геометрии изучались векторы, их свойства и действия над ними. Были даны понятия координат вектора, длины (модуля) вектора, расстояния и угла между векторами, понятие скалярного произведения векторов. Векторно-координатный метод базируется на этих понятиях. Геометрия и алгебра соединяются и взаимодействуют через этот метод. Он часто используется в алгебре для доказательства некоторых видов неравенств, решения уравнений и их систем, для нахождения наибольших и наименьших значений функции на промежутке и т.д. При этом часто решения существенно упрощаются по сравнению с решениями, выполненными традиционными методами.

Как известно, скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

.

Т.к. , то (1)

(2)

Неравенство (1) называется векторным неравенством Коши-Буняковского, а неравенство (2) – его следствием. Заметим, что равенство достигается:

а) в неравенстве (1), если векторы и коллинеарны;

б) в неравенстве (2), если векторы и сонаправлены.

Запишем указанные выше формулы через координаты векторов, заданных в 3-хмерном пространстве (заметим, что аналогичные формулы имеют место, как известно, и для векторов, заданных на плоскости).

Если даны векторы и , то

и ,

Неравенства (1) и (2) можно записать в виде:

(3)

(4)

Из неравенств (1) и (2) в том случае, когда имеет место равенство, следует где ≠ 0, что равносильно системе:

(5)

Что должно натолкнуть на мысль, что надо использовать рассматриваемый метод?

Известно, что модуль вектора вычисляется по формуле . Но это равенство можно читать в обратном порядке: , откуда следует, что всякое выражение вида имеет ясный геометрический смысл; если говорить о векторах – это модуль некоторого вектора. Аналогичное соображение: скалярное произведение двух векторов и вычисляется по формуле . Прочитав это равенство справа налево, получим . Отсюда ясно, что выражение вида можно считать скалярным произведением векторов и .

Рассмотрим задачи, где векторно-координатный метод дает хорошие результаты.

1. Доказательство неравенств. Встречаются неравенства, которые трудно доказать традиционными методами. Применение данного метода позволяет значительно облегчить и ускорить их решение. Рассмотрим несколько примеров.