Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

из области определения, кроме только что указанных значений ( т.е. для всех таких, что > 0 и > 0). Общим решением этих двух неравен

ств, а значит, и исходного неравенства, будет < , ∈ℤ.

Для сравнения приведем обычное, стандартное решение этого неравенства.

Область определения данного неравенства задается равенствами ≥ 0и ≥ 0. Обе части исходного неравенства положительны, и поэтому после возведения в квадрат получим следующее неравенство, равносильное в области определения исходному:

> 1 или >.

Т.к. , то, заменяя для краткости через, получим неравенство > . Область определения этого неравенства: > 1.

Поскольку левая часть последнего неравенства неотрицательна, то при > 1 оно удовлетворяется, т.е. все значения > 1 являются решениями.

Рассматривая далее значения ≤ -1, будем иметь неравенство с неотрицательными частями. Возводя его в квадрат, после преобразований получим равносильное неравенство > 0 , решения которого > 1 (можно решить методом интервалов). Мы рассматриваем случай ≤ -1, а потому надо оставить лишь неравенство .

Итак, неравенство > имеет решения > 1 (из первого случая) и

(из второго случая). Но =≥ -> -3 и поэтому остается решить неравенство > 1.

В области определения исходного неравенства ≥ 0, поэтому после возведения в квадрат обеих частей неравенства получим равносильное неравенство> 0, которое выполняется для всех из области определения, кроме тех, для которых , т.е. для из интервалов < , ∈ℤ.

Как видим, первое решение гораздо короче и, кроме того, оно более универсально: в нем несущественно, например, что оба корня в неравенстве квадратные – они могли бы быть даже разных степеней. В то же время “стандартное” решение в этом случае столкнулось бы с непреодолимыми трудностями.

Пример 2. Решите неравенство ≥ 0.

Отметим прежде всего, что решить неравенство с двумя неизвестными и - значит, естественно, указать все пары чисел (), при подстановке которых в данное неравенство получается верное числовое неравенство.

Решение. Запишем неравенство в виде ≥ .Т.к. область определения функции есть отрезок ∈[-1;1] , то левая часть этого неравенства определена при условии ≤ 1 , откуда следует, что должно выполняться условие . Но при этом условии минимальное значение правой части неравенства равно при . Но, поскольку , то максимальное значение левой части неравенства тоже равно при . Следовательно, исходное неравенство имеет единственное решение ,. Ответ: (0;1).

Пример 3. Решить неравенство ≥ 1.

Решение. 1 способ. Перепишем неравенство в виде ≥ .

Теперь видно, что всякое решение должно удовлетворять условию ≥ 0, а при выполнении этого условия обе части неравенства неотрицательны (в области определения), и мы можем возвести их в квадрат, получив равносильное в области определения неравенство ≥. Но в рассматриваемой области ≥≥ 0, так что левая часть получившегося неравенства неположительна, а правая часть неотрицательна. Поэтому оно удовлетворяется в том и только том случае, когда обе части равны нулю: . Первое из этих уравнений означает, что либо , либо равен 0. Если, то из условия ≥ следует , а пара , не входит, очевидно, в область определения исходного неравенства. Следовательно, , и из второго уравнения получаем (с учетом