Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Найдем область допустимых значений переменной . Она определяется

системой:

≥ 0

≥ -1,

т.е. ≥ 0. Функция возрастающая, поэтому > . Тогда левая часть уравнения отрицательна, а правая – положительна. Решения нет. Ответ: корней нет.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение

Легко установить, что - корень уравнения. Однако его единственность пока не очевидна, т.к. в обеих частях уравнения имеем возрастающие функции. Применим следующий прием: разделим обе части уравнения на , заметив, что ≠ 0 . Получим .Теперь в левой части уравнения записана убывающая функция ( она является суммой двух убывающих функций), а в правой – постоянная. Такое уравнение не может иметь более одного корня. Итак, - единственный корень. Ответ: .

Замечание: можно было разделить обе части уравнения на , ≠ 0.

Пример 5. Решить уравнение

Решение

Область определения данного уравнения есть промежуток ≤ 18. На области определения функции = и =непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция =. Поэтому каждое свое значение функция принимает только в одной точке. Т.к. , то является единственным корнем исходного уравнения. Ответ: .

Пример 6. Решить неравенство >

Решение

Область определения данного неравенства – множество . Запишем неравенство в виде > 0. Т.к. функция - убывающая, а - возрастающая, то - убывающая функция. Функция также убывающая, и, следовательно, функция - убывающая как сумма двух убывающих функций. Поэтому при > , а при 0<. Ответ:

Пример 7. Решить уравнение .

Решение

Положим , тогда , и заданное уравнение можно переписать в виде: , откуда . Это уравнение имеет очевидный корень , но утверждать, что это единственный корень уравнения мы не можем, ибо как левая, так и правая часть уравнения - возрастающая функция. Но если обе части уравнения разделить почленно на , то получим: . Теперь левая часть уравнения, т.е. показательная функция , убывает (основание , а правая часть уравнения, т.е. показательная функция , возрастает (основание > 1).

Значит,- единственный корень уравнения. Поскольку , то из уравнения находим - единственный корень заданного уравнения.

Пример 8. Решить неравенство .

Решение

Каждая из функций непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, и исходная функция является непрерывной и строго возрастающей. Легко видеть, что при функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при> 0 имеем > 3, при имеем < 3. Следовательно, решениями исходного неравенства являются все . Ответ: (-∞;0)