Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

Установим, какие из значений являются решениями уравнения. Проверкой убеждаемся, что только две тройки являются решениями данной системы.

Пример 8. Решите систему уравнений

t=26 src="images/referats/27448/image446.png">

Решение

Рассмотрим векторы . Тогда и, значит, . Тогда имеем =, откуда =. Из первого уравнения системы получим: . Следовательно, , z =1 .Тройка чисел (1,1,1) является решением третьего уравнения системы и, следовательно, решением системы. Итак, (1;1;1) – решение исходной системы.

Подводя итоги, можно дать общую схему решения уравнения или системы уравнений с помощью векторов.

1. Введение векторов и .

2. Вычисление модулей векторов и их скалярного произведения.

3. Проверка возможности представления исходного уравнения ( или одного из уравнений системы) в виде соотношения или

4. Если это выполняется, то координаты векторов пропорциональны, что дает возможность найти решение исходного уравнения или системы уравнений.

Проверка и запись ответа.

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 6. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 4 и 5

Цели: повторить в ходе решения некоторых задач из домашнего задания изученный материал; проверить усвоение применения векторно-координатного метода для решения алгебраических задач.

В начале занятия предлагается разобрать задачи 6,7,8 из домашнего задания и несколько задач на темы занятий 4 и 5( на усмотрение учителя). Во второй половине занятия дать проверочную работу. (Решения задач и варианты проверочной работы даны в Приложении).

Занятие 7. Метод обращения к монотонности функции при решении уравнений и неравенств

Цели: познакомить с задачами, которые решаются с помощью использования свойства монотонности функции; учить решать уравнения и неравенства методом обращения к монотонности функции.

В начале занятия рекомендуется провести анализ проверочной работы предыдущего занятия.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть непрерывная и строго монотонная функция на промежутке ℑ, тогда уравнение , где - данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке ℑ.

2. Пусть и –непрерывные на промежутке ℑ функции, строго возрастает, а строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение = может иметь не более одного решения на промежутке ℑ, причем если - решение этого уравнения, то при будет>, а при будет<.Отметим, что в качестве промежутка могут быть: [31]

Идею метода обращения к монотонности при решении неравенств хорошо иллюстрирует решение следующего простого неравенства:

Пример 1. Решить неравенство ≥ .

Решение

Есть два стандартных пути: возведение в квадрат ( при условии > 0, если же < 0, неравенство выполняется) и замена неизвестного ().

Рассмотрим еще один способ – нестандартный, использующий монотонность функций

Функция, расположенная в левой части, монотонно возрастает, в правой части убывает. По утверждению 2 уравнение имеет не более одного решения, причем если - решение этого уравнения, то при будет , а решением данного неравенства будет . Значение ₀ легко подбирается: . Ответ: ≥ 1.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Корень легко найти подбором. Других корней быть не может, т. к. левая часть уравнения представляет собой возрастающую функцию, поскольку является суммой двух возрастающих функций и , а правая – константу. Ответ: