Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении

Занятие 8. Решение уравнений вида : основные утверждения

Цели: познакомить с утверждениями, помогающими решать уравнения данного вида, основанными на свойстве монотонности функции ; учить решать ур

авнения вида .

В начале занятия предлагается разобрать задачи 4,5,7 из домашнего задания.

Мы рассмотрели некоторые нестандартные методы решения алгебраических задач, основанные на свойстве монотонности функций. На этом же свойстве базируется решение специального класса уравнений вида: , (1) где - некоторые функции.

Заметим, что если или , а - квадратичные или линейные функции, то уравнения вида (1) являются традиционными для учащихся, они часто встречаются в школьном курсе, причем решение такого уравнения сводится к решению уравнения .

Мы рассмотрим этот вид уравнений в более широком плане и дадим теоретическое обоснование решения. Методы решения уравнений вида (1) основываются на трех утверждениях [35].

Случай 1. Функция строго монотонна на ℝ, причем ℝ - множество всех действительных чисел – является областью определения данной функции. В этом случае области значений функций и всегда принадлежат области определения функции .

Утверждение 1. Пусть функциястрого монотонна (строго возрастает или убывает) наℝ.

Тогда уравнение равносильно уравнению .

Случай 2. Функция строго монотонна на всей области ее определения, которой является промежуток J. Значения функцийи , как аргументов функции , принадлежат промежутку J.

Утверждение 2. Пусть функция имеет область существования – промежуток J , и пусть она строго монотонна на J . Тогда уравнение равносильно системе

∈J

∈J.

Отметим, что в системе можно опустить одно из двух условий: или∈J, или ∈J (что мы и будем иногда делать в дальнейшем). Действительно, если для некоторого числа справедливо равенство и одно из условий, например ∈J , то тогда справедливо и второе условие ∈J , т.к. .

Общий случай. Область значений функций и , играющих роль аргументов функции, принадлежат промежутку J. Функция строго монотонна на этом промежутке J, который либо принадлежит области определения функции , либо совпадает с ней.

Очевидно, что случаи 1 и 2 являются частными случаями утверждения 3, поэтому докажем только утверждение 3.

Доказательство утверждения 3. Пусть число является решением системы

∈J

∈J . (A)

Это означает, что имеют смысл числовые выражения , каждое из них принадлежит промежутку J и . Покажем, что отсюда следует: .

Пусть функция строго возрастает на промежутке J . Тогда если , то ; если же , то , что противоречит условию . Следовательно, действительно , а т.к. ∈J, ∈J, то число является решением системы

∈J

∈J. (Б)

Аналогично можно показать, что если функция строго убывает на промежутке J, то число; - решение системы (А) – является решением системы (Б). Сказанное выше означает, что любое решение системы (А) является решением системы (Б).

Если число является решением системы (Б), то это означает, что имеют смысл и принадлежат промежутку J числовые выражения и . Но тогда . Следовательно, получим, что ∈J, ∈J и , а это означает, что число является решением системы (А). Отсюда следует, что любое решение системы (Б) является решением системы (А).