Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

Действительно, довольно часто поиск решения задачи напоминает эту операцию по поимке мыши в куче камней.

Невозможно указать все методы решения нестандартных задач. Зачастую очень выручает знание свойств функций, входящих в уравнения или неравенства. Во многих случаях решение нестандартных уравнений и неравенств осуществляется на “функциональном

уровне”, т.е. с помощью графиков или за сч

ет сопоставления некоторых свойств функций.

В этом факультативном курсе будут рассмотрены некоторые методы, базирующиеся на свойстве ограниченности и свойстве монотонности функций. Заметим, что они часто упрощают и решение стандартных задач.

Многие уравнения и неравенства повышенной трудности могут быть успешно решены с помощью анализа областей определения левой и правой частей и посредством оценок их наибольших и наименьших значений с помощью использования свойства ограниченности функций. Признаком таких задач часто может быть наличие в них функций различной природы, например, тригонометрических и показательных, или количество неизвестных, превышающее количество уравнений (неравенств).

Применение метода оценок будет успешным, если уметь находить наибольшие и наименьшие значения элементарных функций или их композиций на заданном множестве, используя свойство ограниченности функций, а также зная некоторые “полезные” неравенства.

Напомним некоторые неравенства, которые широко используются при решении задач:

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел , здесь i> 0, - натуральное число. В частности, при имеем . Равенство достигается при .

2. Модуль суммы двух чисел .

Сумма двух взаимно обратных чисел:

≥ 2 при > 0, равенство достигается при = 1;

≤ -2 при < 0, равенство достигается при = -1.

Рассмотрим метод использования свойства ограниченности функций. Он основан на следующих утверждениях:

1. [10] если функции и таковы, что для всех из некоторого множества М выполняются неравенства и , и дано уравнение , то оно на множестве М равносильно системе

2. [1] если на некотором множестве М наименьшее значение одной из функций совпадает с наибольшим значением другой функции (обозначим эти значения буквой ), то на этом множестве уравнение сводится к системе более простых уравнений

.

3. [31] если для всех из некоторого множества М справедливы неравенства > B и < B, где B – некоторое действительное число, то на множестве М уравнение и неравенство <решений не имеют. Заметим, что роль числа B часто играет 0, в этом случае говорят о сохранении знака функций ина множестве M.

Рассмотрим некоторые примеры применения свойства ограниченности функций для решения уравнений.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.(используется утверждение 1). В левой части уравнения записана сумма косинусов, что при стандартном приеме решения предполагает представление ее в виде произведения. Однако этот путь нахождения корней уравнения довольно длинный, т.к. правая часть отлична от нуля. Проще сразу использовать свойство ограниченности тригонометрических функций. Действительно, , поэтому сумма косинусов может быть равна 2 только в том случае, когда оба слагаемых будут равны 1.

Иначе говоря,

Решение исходного уравнения находим как общее решение двух простейших тригонометрических уравнений : , где ∈ℤ, т.е. , где ∈ℤ.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. (используется утверждение 2).Заметим, что левая часть уравнения не превосходит 1, в то время как правая часть не меньше 1. Следовательно, исходное уравнение имеет решение, только если обе его части равны 1. Это возможно только при x=0.

Пример 3. Решить уравнение .