Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

Пример 1. Доказать неравенство ≥ .

Решение. Для доказательства рассмотрим векторы . Тогда Данное неравенство свелось к векто

рному: , которое хорошо известно. Кроме того, сразу ясно, когда достигается знак равенства: при сонаправленности векторов и .

Пример 2. Доказать, что для произвольных чисел справедливо неравенство:

(6)

Решение

Введем векторы: и . Для них имеем:

=,

Отсюда на основании (2) следует требуемое неравенство.

Пример 3. Доказать, что если - неотрицательные числа, то имеет место неравенство ≥ .

Решение

Введем векторы и .Тогда .

На основании (2) имеем

Замечание. “Стандартный метод” – от противного: предположим противное, что существует набор неотрицательных значений , для которого исходное неравенство неверно, т.е. выполняется неравенство< . Т.к. обе части этого неравенства неотрицательны, то при возведении их в квадрат получим: , откуда , и далее

< . Но это противоречит неравенству Коши (среднее арифметическое больше среднего геометрического). Значит, наше предположение неверно, а потому справедливо исходное неравенство.

Пример 4. Доказать истинность неравенства

.

Доказательство

Рассмотрим векторы . Получим: , - левая часть исходного неравенства. Согласно неравенству (4), имеем =. (7)

Пусть теперь . Тогда = , скалярное произведение . Применим формулу (4) к правой части неравенства (7): =.

Пример 5. Доказать, что неравенство выполняется при всех значениях, при которых определена его левая часть.

Доказательство. Рассмотрим векторы . Из формулы (4) следует, что

=

Пример 6. Доказать, что неравенство

выполняется при всех значениях , при которых определена его левая часть.

Доказательство.Найдем числовой промежуток, на котором определена левая часть неравенства. Решив систему

≥

≥

,

получаем, что ∈.

Рассмотрим векторы . Из соотношения (4) следует, что =.

Заметим, что самое невероятное соотношение может стать верным неравенством или даже тождеством на достаточно узкой области его определения. Например, равенство , вообще говоря, неверно. Но стоит сузить область его определения и рассмотреть не все множество действительный чисел, а только одно подмножество, как это равенство становится верным. То же самое произошло и с заданным неравенством. Оно выполняется на весьма специфической области, в которую, например, не входит ни одно натуральное число, а целое встречается лишь единожды – это число 0.

Для того, чтобы расширить область применения метода скалярного произведения, можно привлечь так называемые условные неравенства, когда переменные, кроме того соотношения, которое требуется доказать, связаны дополнительным условием.

Покажем применение векторного неравенства Коши-Буняковского к доказательству условных неравенств.

Пример 7. Доказать, что если ≤ 2 , то ≤ 2.

Решение. Введем векторы: и . Тогда . На основании (1) , т.е.. Учитывая условие ≤ 2, имеем .