Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

,, , ,откуда =±, где ∈ℤ.

Пример 14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

.

Решение

Рассмотрим векторы

.

Согласно неравенству

=.

Следовательно, ≤7.

Пример 15. Найти наибольшее значение функции

.

Решение

Функцию представим в виде . Рассмотрим векторы: Эти векторы сонаправлены, если (согласно соотношениям (5) ). Отсюда находим, что и . Окончательно получаем , т.е. max =при .

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении

Занятие 5. Векторно-координатный метод: решение уравнений и систем уравнений

Цели: показать возможность использования векторно-координатного метода при решении уравнений и систем уравнений; выработать навык решения задач данным методом.

В начале занятия предлагается разобрать решения задач 4,6,7 из домашнего задания.

1. Решение уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

Рассмотрим векторы: Длины этих векторов соответственно равны

Их скалярное произведение: В соответствии с неравенством имеем:≥ > , т.е. >. Отсюда следует, что равенство не выполняется, т.е. исходное уравнение не имеет корней. Ответ: уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем подкоренное выражение левой части уравнения:

=

Тогда данное уравнение примет вид

Область определения уравнения: ≥0.

Введем векторы и найдем:

Из этих равенств следует, что исходное уравнение можно переписать в виде Это равенство выполняется только в том случае, когда векторы сонаправлены. Тогда их координаты пропорциональны, т.е. при можно записать:. Отсюда. Кроме того, при левая и правая части исходного уравнения равны, т.е.- корень уравнения. Итак, найдены два корня исходного уравненияДругих корней нет, т.к. исходное уравнение сводится к квадратному.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение

Рассмотрим векторы Тогда данное уравнение можно записать в виде Оно выполняется только в том случае, когда координаты векторов пропорциональны. Т.к. не является корнем уравнения, условие пропорциональности удобно записать в виде .

Отсюда , или , т.е. и , откуда = 1 и = (проверкой убеждаемся, что значение не подходит).

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Введем векторы, тогда

= и , так что . Координаты сонаправленных векторов пропорциональны, т.е. , , откуда , ∈ℤ.